ヴィチェクモデル

ヴィチェクモデルは、アクティブマターを記述するために使用される数学モデルです。物理学者がアクティブマターを研究する動機の1つは、この分野に関連する豊富な現象学です。集団運動と群集運動は、最も研究されている現象の1つです。このような動作を微視的記述から捉えるために開発された膨大な数のモデルの中で、最も有名なのは、1995年にタマーシュ・ヴィチェクらによって導入されたモデルです。 ^[1]

このモデルは最小限で、ある種の普遍性を説明するため、物理学者は大きな関心を寄せています。このモデルは、一定の速度で進化し、ノイズが存在する場合に隣接する粒子の速度と一致する点状の自己推進粒子で構成されています。このようなモデルは、粒子の高密度または整列時のノイズが少ない場合に集団運動を示します。

このモデルは最小限であることを目指しているため、群がりはあらゆる種類の自己推進と効果的な整列の組み合わせによるものであると想定しています。各粒子の速度は一定であるため、衝突中にシステムの正味運動量は保存されません。

個体は、その位置と、 時刻における 速度の方向を定義する角度によって記述されます。1 つの粒子の離散時間発展は、次の 2 つの方程式によって設定されます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t)}$${\displaystyle \Theta _{i}(t)}$${\displaystyle t}$

1. 各タイムステップにおいて、各エージェントはノイズによる不確実性を伴いながら、指定された距離内で近隣のエージェントと整列します。 ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \eta _{i}(t)}$
   • ${\displaystyle \Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)}$
2. 粒子は 新しい方向に一定の速度で移動します。 ${\displaystyle v}$
   • ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}}$

これらの式では、粒子 を囲む半径 の円内の粒子 (粒子 を含む) の速度の平均方向を表します。平均正規化速度はこのシステムの秩序パラメータとして機能し、 によって与えられます。 ${\displaystyle \langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{a}={\frac {1}{Nv}}|\sum _{i=1}^{N}v_{i}|}$

モデル全体は、粒子の密度、整列時のノイズの振幅、移動距離と相互作用範囲の比という3つのパラメータによって制御されます。これら2つの単純な反復規則から、流体力学的レベルでシステムを記述するトナー・トゥ理論^{[3]などのさまざまな連続理論[2]}が考案されました。任意の粒子密度で有効なエンスコグのような運動理論が開発されました。^[4]この理論は、集団運動への移行付近での侵入波とも呼ばれる急峻な密度波の形成を定量的に記述します。^[5]${\displaystyle v\Delta t}$${\displaystyle r}$

このモデルは、無秩序な運動から大規模な秩序だった運動への相転移^{[6]を示しています。ノイズが大きい場合や密度が低い場合、粒子は平均して整列しておらず、無秩序なガスとして記述できます。ノイズが低く密度が高い場合、粒子は全体的に整列し、同じ方向に移動します (}集団運動)。この状態は、秩序だった液体として解釈されます。これら 2 つの相間の遷移は連続的ではなく、実際、システムの相図はミクロ相分離を伴う一次相転移を示しています。共存領域では、有限サイズの液体バンド^[7]がガス環境内に出現し、横方向に沿って移動します。最近、新しい相が発見されました。それは、本質的に選択された交差角度を持つ密度波の極性秩序立った交差海相です。^[8]この粒子の自発的な組織化は、集団運動の典型です。

1995年に登場して以来、このモデルは物理学界で非常に人気があり、多くの科学者がこれに取り組み、拡張してきました。例えば、粒子の運動とそれらの配列に関する単純な対称性の議論から、いくつかの普遍性クラスを抽出することができます。^[9]

さらに、実際のシステムでは、エージェント（有限サイズの粒子）間の引力と反発、化学走性（生物システム）、メモリ、非同一粒子、周囲の液体など、 より現実的な説明を与えるために多くのパラメータを含めることができます。

より単純な理論であるアクティブイジングモデル^[10]は、ヴィチェクモデルの解析を容易にするために開発されました。