変分摂動論

数学において、変分摂動論（VPT ）は、例えば小さな展開パラメータにおける発散するべき級数を変換する数学的手法である。

s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}g^{n}

、

s=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}/(g^{\omega })^{n}

、

ここで、は臨界指数（フランツ・ウェグナーによって導入されたいわゆる「スケーリングへのアプローチ」の指標）である。これは、の次数ごとに最適化によって決定される変分パラメータの助けを借りて可能になる。部分和は、1992年に開発された方法によって収束部分和に変換される。^[1] $\omega$ $g$

量子力学における摂動展開のほとんどは、結合強度が小さい場合、発散する。これらはVPTによって収束させることができる（詳細は下記の最初の教科書を参照）。収束は指数関数的に速い。^[2]^[3] $g$

量子力学での成功の後、VPTはさらに発展し、その異常次元を持つ量子場理論における重要な数学的ツールとなった。^[4]応用は臨界現象の理論に焦点を当てている。これにより、臨界指数の最も正確な予測が可能になった。詳細については、こちらをご覧ください。

参考文献

^ Kleinert, H. (1995). 「有効古典ポテンシャルの変分計算に対する体系的な補正」(PDF) . Physics Letters A . 173 ( 4– 5): 332– 342. Bibcode :1993PhLA..173..332K. doi :10.1016/0375-9601(93)90246-V.
^ Kleinert, H. ; Janke, W. (1993). 「変分摂動展開の収束挙動 - Bender-Wu 特異点の位置を特定する方法」(PDF) . Physics Letters A . 206 ( 5– 6): 283– 289. arXiv : quant-ph/9509005 . Bibcode :1995PhLA..206..283K. doi :10.1016/0375-9601(95)00521-4.
^ Guida, R.; Konishi, K.; Suzuki, H. (1996). 「有効古典ポテンシャルの変分計算に対する体系的な補正」Annals of Physics . 249 (1): 109– 145. arXiv : hep-th/9505084 . Bibcode :1996AnPhy.249..109G. doi :10.1006/aphy.1996.0066.
^ Kleinert, H. (1998). 「φ^4理論の強結合挙動と臨界指数」(PDF) . Physical Review D. 57 ( 4): 2264. Bibcode :1998PhRvD..57.2264K. doi :10.1103/PhysRevD.57.2264.

Kleinert H.、Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets、3. Auflage、World Scientific (シンガポール、2004) (こちらからオンラインで閲覧可能) (第 5 章を参照)
Kleinert H.および Verena Schulte-Frohlinde、「Critical Properties of φ ⁴ -Theories」、World Scientific (シンガポール、2001)。ペーパーバックISBN 981-02-4658-7 (ここでオンラインで読むことができます) (第 19 章を参照)
Feynman, RP ; Kleinert, H. (1986). 「有効な古典的分割関数」(PDF) . Physical Review A . 34 (6): 5080– 5084. Bibcode :1986PhRvA..34.5080F. doi :10.1103/PhysRevA.34.5080. PMID 9897894.