ウナム（数値形式）

Unums（ユニバーサルナンバー^{[ 1 ]} ）は、 2015年にJohn L. Gustafsonによって提案された、コンピュータ上で実数を実装するための数値フォーマットと算術のファミリーです。 ^{[ 2 ]}これらは、広く普及しているIEEE 754浮動小数点標準の代替として設計されています。最新バージョンはpositsとして知られています。^{[ 3 ]}

unum の最初のバージョン（正式にはタイプ I unum として知られる）は、Gustafson の著書『The End of Error』でIEEE-754 浮動小数点フォーマットの上位互換として紹介されました。^{[ 2 ]}タイプ I unum フォーマットの特徴は次のとおりです。

• 仮数部と指数部の両方に可変幅のストレージ形式を使用し、
• uビットは、unumが正確な数値（u  =  0）に対応するか、連続する正確なunum間の間隔（ u  = 1）に対応するかを決定します。このようにして、unumは拡張された実数直線 [−∞,+∞]全体をカバーします。

この形式での計算のために、Gustafsonは、 uboundと呼ばれる一対のunumを用いた区間演算を使用することを提案し、結果として得られる区間が正確な解を含むことを保証した。

ウィリアム・M・カハンとグスタフソンは、 Arith23会議で unums について議論した。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

タイプ II Unum は、IEEE-754 との互換性を破る Unum の再設計として2016 年に導入されました^{[ 8 ]} 。前述の符号ビットと区間ビットに加えて、タイプ II Unum は反転を示すビットを使用します。これらの 3 つの操作により、1 から無限大までの有限個の点から始めて、0 と ∞、そして 1 と -1 の 4 つの点を除く射影線全体を定量化することが可能になります。この点の集合は任意に選択され、それらを含む算術演算は論理的にではなくルックアップ テーブルを使用して実行されます。このようなテーブルのサイズは、複数のバイトにまたがるエンコード フォーマットでは許容できないほど大きくなります。この課題により、以下で説明する posit として知られるタイプ III Unum の開発が必要となりました。

2017年2月、Gustafsonは、固定浮動小数点のような値と区間演算の有効値のためのタイプIII unum（posit）を正式に導入した。^{[ 3 ]} 2022年3月、Positワーキンググループによって標準が承認され、公開された。^{[ 9 ]}

Posits ^{[ 3 ] [ 10 ] [ 11 ]}は、可変サイズのために元のタイプ I unum で直面していた困難を解消した、ハードウェアに適した unum のバージョンです。同様のサイズの IEEE 754 float と比較すると、posits は、1 に近い値に対してより大きなダイナミック レンジとより多くの小数ビットを提供します (ただし、非常に大きい値または非常に小さい値に対しては小数ビットが少なくなります)。Gustafson は、Posits の方が精度が高いと主張しています。^{[ 12 ] [ 13 ]}研究^{[ 14 ] [ 15 ]}は、一部のアプリケーションでは、quire を使用した posits が精度において float を上回ることを確認しています。Posits は、ほとんどの計算が行われる 1 に近い範囲で優れた精度を持っています。このため、使用するビット数を最小限に抑えるというディープラーニングの現在のトレンドに非常に魅力的です。Posits は、より少ないビットの使用を可能にすることで (精度のための小数ビットが多いため)、ネットワークとメモリの帯域幅と電力要件を削減し、あらゆるアプリケーションの高速化に役立つ可能性があります。

nビットのpositのフォーマットは、「posit」というラベルにnの10進数桁が続く形式（例えば、16ビットのpositフォーマットは「posit16」）で、4つの連続したフィールドで構成されます。

1. 符号: 1ビット、符号なし整数を表す
2. レジーム：少なくとも2ビット、最大( n  - 1)ビットで、以下に説明するように 符号なし整数rを表す。
3. 指数部：通常、レジーム後に使用可能な2ビットで、符号なし整数eを表す。
4. fraction ：指数部の後に残るすべてのビット。1未満の非負の実数二進有理数fを表す。

レジーム フィールドは、k個の同一ビットの単項符号化を使用し、残りのビットが使用可能な場合は反対の値のビットを続けて、最初のビットが 0 の場合は− k 、最初のビットが 1 の場合はk − 1 となる符号なし整数rを表します。符号、指数、および仮数フィールドは、IEEE 754 の符号、指数、および仮数フィールド（それぞれ）に類似していますが、正の指数と仮数フィールドは存在しないか切り捨てられ、暗黙的にゼロで拡張される可能性があります。指数がない場合は₂ (0 を表す) として扱われ、1 ビットの指数 E ₁は_{2 (E 1}が 0 の場合は整数 0を、E ₁が 1 の場合は 2 を表す) として扱われ、仮数がない場合は 0 として扱われます。負の数 ( sが 1) は 2 の補数としてエンコードされます。  00E10

符号以外のビットがすべて0である2つのエンコーディングには、特別な解釈があります。

• 符号ビットが1の場合、正の値はNaR（「実数ではない」）
• 符号ビットが0の場合、正の値は0になります（これは符号なしであり、sign関数が0を返す唯一の値です）。

それ以外の場合、正の値は${\textstyle ((1-3s)+f)\times 2^{(1-2s)\times (4r+e+s)}}$ここで、r は16 のべき乗でスケーリングされ、e は2 のべき乗でスケーリングされ、f は( r , e )の隣接する組み合わせ間で値を均等に分配し、s は0 を中心に対称的に符号を調整します。

有効値は、結果を特定の範囲に制限するタイプ III Unum モードとして説明されます。^{[ 3 ]}

IEEE 754-1985の主任設計者である William M. Kahan は、タイプ I の unum を以下の理由で批判しています (一部はタイプ II およびタイプ III 規格で対処されています)。^{[ 6 ] [ 17 ]}

• ウナムの説明では、物理問題を解くために微積分を用いることを回避している。
• Unumは、時間と電力消費の面でコストがかかる可能性がある。
• unum空間における各計算は、構造体のビット長を変化させる可能性が高い。そのため、固定サイズの空間に展開するか、あるいは大容量ストレージにおける可変長レコードの処理と同様に、unum操作中にデータの割り当て、解放、およびガベージコレクションを行う必要がある。
• Unumは、数値例外として、静かな例外とNaN（非数）を示す例外の2種類のみを提供します。
• Unum計算では、代数的には正しいが数値的に不安定なアルゴリズムを選択すると、過度に緩い境界値が得られる可能性がある。
• 低精度を必要とする問題において、unumが短精度浮動小数点数よりも優れている点は明らかではない。
• 微分方程式を解いたり、積分を評価したりする際にunumを用いると、正しい答えが保証されますが、通常有効な方法ほど速くない場合があります。

• カールスルーエ高精度算術（KAA）
• Q（数値形式）
• 有効数字
• 浮動小数点誤差の軽減
• エリアスガンマ（γ）コード
• テーパー浮動小数点（TFP）

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