アメリカ合衆国数学オリンピック

アメリカ数学オリンピック（USAMO ）は、アメリカで毎年開催される、選抜性の高い高校生 数学 コンテストです。1972年に初開催されて以来、アメリカ数学コンテストの最終ラウンドとして機能してきました。2010年に、USAMOとアメリカジュニア数学オリンピック（USAJMO）に分割されました。

6 問 9 時間の数学証明コンテストの両方で最高得点を獲得した参加者は、数学オリンピック プログラムに参加して、国際数学オリンピックで米国を代表するために競い合い、トレーニングを受けるよう招待されます。

USAMOに参加するには、参加者は米国市民または米国もしくはカナダの合法的な居住者である必要があります。^[1] 2003年までは米国市民と永住者のみがUSAMOに招待されましたが、^[2] 2004年以降は米国に合法的に居住するその他の学生も招待されるようになりました。^[3] IMO 2022からは、米国永住者と米国市民のみがアメリカのIMOチームに参加できます。^{[4]さらに、地理的な場所に関係なく、すべての参加者は、} AMCコンテストの以前のラウンドで決定された資格指標を満たす必要があります。USAMOへの参加は招待制です。

USAMOは1972年にヌーラ・D・ターナーとサミュエル・L・グレイツァーの主導により設立され、^{[5] [6] [7] 、1982年まで}AHSMEの次のラウンドとして機能しました。 1983年には、AHSMEとUSAMOの架け橋としてアメリカ招待数学試験が導入されました。2010年にUSAMOはUSAMOとUSAJMOに分裂しました。 ^[8]

USAMO (および 2010 年からは USAJMO) の参加者は、毎年合わせて約 500 名 (2006 年以前は 250 名) に制限されています。この定員を一定に保つために、AMC 委員会は選考プロセスを採用しており、この選考プロセスはコンテストの歴史の中で何度も改訂されてきました。

AMC 12 ベースの指標は、AMC 12 スコア + 10*(AIME スコア) で決定されます。AMC 10 ベースの指標は、AMC 10 スコア + 10*(AIME スコア) で決定されます。AMC 12 指標に基づくカットオフは、約 260～270 人の学生が USAMO の資格を得るように決定されます。AMC 10 指標に基づくカットオフは、約 230～240 人の学生が USAJMO の資格を得るように決定されます。学生が AMC 10 と 12 (つまり、AMC 10A と 12B、または AMC 12A と 10B) を受験し、USAMO と USAJMO の両方の資格を得た場合、その学生は USAMO を受験する必要があります。2020 年には、COVID-19 パンデミックによる成績評価の制約により、入学した学生の数が減少しました (USAMO 資格取得者 223 名、USAJMO 資格取得者 158 名)。さらに、アメリカ合衆国数学才能検索テストで少なくとも68/75のスコアを獲得してAIMEの資格を得たが、AMC 10と12のどちらも獲得していない学生は、資格があれば、AIMEで少なくとも11のスコアを獲得してUSAMOの資格を得るか、AIMEで9-10のスコアを獲得してUSAJMOの資格を得ることができます。^[9]

2011 年以来、2 つのオリンピックに合計約 500 人の学生を選抜することを目標としており、そのうち 270 人が米国数学オリンピック (USAMO) に、2011 年米国ジュニア数学オリンピック (USAJMO) に、それぞれ出場する資格を得ています。USAMO と USAJMO の選抜は、次の規則に従って行われます。

1. 米国市民および米国とカナダに居住する学生（合格スコアを有する）は、USAMO および USAJMO を受験する資格があります。

2. USAMO への選考は、AMC 12 スコア + 10 * AIME スコアとして定義される USAMO インデックスに基づいて行われます。USAJMO への選考は、AMC 10 スコア + 10 * AIME スコアとして定義される USAJMO インデックスに基づいて行われます。

3. USAMO の対象となるのは、AMC 12 A または AMC 12 B の受験者で、米国市民および米国とカナダに居住する学生のみです。

4. AMC 10 A または AMC 10 B を受験し、米国市民および米国とカナダに居住する学生のみが USAJMO の資格があります。これにより、ジュニア数学オリンピックへの参加は自動的に 10 年生以下に制限されます。AMC 10 テスト (AMC 10 A または AMC 10 B、あるいはその両方) のみを受験した学生は、AMC 10 または AIME のスコアに関係なく、USAMO の資格がありません。

5. AMC 12 に基づく USAMO 指標の上位約 260 ～ 270 名の学生が USAMO 受験に招待されます。これらの指標は、AIME スコアを持つ AMC 12 受験者の中から選ばれます。

6. AMC 10 に基づく USAMO 指標の上位にある約 230 ～ 240 人の学生が、USAJMO を受験するよう招待されます。これらの指標は、AMC 12 テストも受験し、ルール 5 で USAMO の資格を得た学生を除外した後、AIME スコアを持つ AMC 10 受験者のプールから選択されます。つまり、若い学生は、AMC 12 指標で資格を得た場合、USAMO を受験する必要があります。

7. USAMO または USAJMO のどちらにもまだ参加していない米国の各州から、AMC 10 ベースの USAJMO 指数または AMC 12 ベースの USAMO 指数のいずれの数値が最も大きい指数を持つ学生を選択します。州内で数値が最も高い指数が AMC 12 ベースの場合、学生は USAMO に招待され、指数が AMC 10 ベースの場合、学生は USAJMO に招待されます。

2010年から、米国数学オリンピックは2部に分かれています。米国数学オリンピックは、主にAMC12の上位参加者から選ばれた約270人の学生を対象に実施されます。AMC10の参加者のみが米国ジュニア数学オリンピックに参加します。^[10]

1. USAMO および JMO への選考は、AMC スコア + 10 * AIME スコアとして定義される USAMO インデックスに基づいて行われます。

2. AMC 12A または AMC 12B の受験者のみが USAMO の対象となります (以下の項目 5 に記載されているわずかな例外を除く)。

3. AMC 10A および AMC 10B の受験者のみが JMO に参加できます。(これにより、ジュニア数学オリンピックへの参加は 10 年生以下に自動的に制限されます。)

4. AMC12 ベースの USAMO インデックスの上位約 260 個が USAMO に招待されます。

5. 認められていない若い才能を発掘するため、AMC 10 の受験者のうち、AIME で 11 点以上を獲得した学生が USAMO に招待されます。(2008 年と 2009 年は 5 名または 6 名でした)。

6. USAMO にまだ代表されていない州からトップ インデックスを選択します。

7. AMC10 ベースの USAMO 指標で上位 220 ～ 230 名程度であり、AMC12 ベースの指標で USAMO にまだ選出されていない学生が JMO に招待されます。

出典: [1]

USAMO への選考は、以下のルールに従って行われます。

1. 今年の AIME および AMC 12A、AMC 12B、AMC 10A、AMC 10B コンテストの上位 500 名を USAMO に参加させるために選出することを目標としています。

2. 選考は、学生の AIME スコアの 10 倍と AMC 12 または AMC 10 のスコアを足した値として定義される USAMO インデックスに基づいて行われます。

3. 最初の選考対象は、AMC 12A または AMC 12B コンテストを受験した学生のうち、USAMO 指数が最も高かった約 330 名です。

4. 最初に選ばれた 330 人のうち最も低い AIME スコアによって、最低値が決定されます。2 回目に選ばれた約 160 人の USAMO 参加者は、最低値以上の AIME スコアを取得した 10 年生以下の生徒から選ばれます。最低値を超えるスコアを持つ若い生徒が 160 人を超える場合は、USAMO インデックスを使用して、このグループから約 160 人の生徒が選ばれます。

5 各州、準州、または米国領土から、第 1 グループおよび第 2 グループの選択にまだ含まれていない最も高い USAMO 指数を持つ学生が、USAMO を受験するよう招待されます。

6. コンテスト難易度の変動に対応するため、A コンテストと B コンテストから選ばれる学生の数は、A コンテストと B コンテストを受験した学生の数に比例します。

7. USAMO への選考を希望する若い生徒 (10 年生以下) に AMC 12 コンテストと AMC 10 コンテストのどちらを受けるべきかアドバイスする際には、次の事実に注意してください。

a. 2007 年に USAMO 受験に招待された 506 人の生徒のうち、229 人が 10 年生以下でした。これらの生徒は AIME で 6 点以上を獲得していました。

b. 229 人の学生のうち、87 人が AMC 12 に基づく AIME 合格最高得点を持ち、142 人が AMC 10 に基づく AIME 合格最高得点を持っていました。

c. 2007 年に AIME を受験した 8,312 人の生徒のうち、2,696 人が 10 年生以下でした。そのうち 998 人が AMC 12 から AIME に合格し、1,698 人が AMC 10 から合格しました。

2006 年から、USAMO は Art of Problem Solving の Web サイトからの提案とスポンサーシップにより、約 500 人の学生 (実際に招待されたのは約 430 人、下記参照) が参加するまでに拡大しました。

1. 目標は、今年の AIME および AMC 12A、AMC 12B、AMC 10A、AMC 10B コンテストの上位得点者約 500 名を USAMO に参加させるために選出することです。
2. 選考は、学生の AIME スコアの 10 倍と AMC 12 または AMC 10 のスコアを足した値として定義される USAMO インデックスに基づいて行われます。
3. 最初の選考対象は、AMC 12A または AMC 12B コンテストを受験した学生のうち、USAMO 指数が最も高かった約 240 名です。
4. 最初に選ばれた 240 人のうち、最も低い AIME スコアによって最低値が決定されます。2 回目に選ばれた約 120 人の USAMO 参加者は、最低値以上の AIME スコアを取得した 10 年生以下の生徒から選ばれます。最低値を超えるスコアを持つ若い生徒が 120 人を超える場合は、USAMO インデックスを使用してこのグループから約 120 人の生徒が選ばれます。
5. 第 1 グループと第 2 グループの選択にまだ含まれていない各州、準州、または米国領土から最高の USAMO 指数を持つ学生が、USAMO を受験するよう招待されます。
6. コンテスト難易度の変動を調整するため、A コンテストと B コンテストから選ばれる学生の数は、A コンテストと B コンテストを受験した学生の数に比例します。
7. 選考プロセスは、より数学的に総合的な AMC 12A および AMC 12B コンテストに参加する学生を優遇するように設計されています。*

出典: アメリカ数学コンテスト

• 上記の声明 7 (AMC ウェブサイトから引用) は最近論争を呼んでいます。2006 年の USAMO の選考中、最低基準値によって合格した生徒 (7 年生から 10 年生) は AIME スコアだけでなく AMC スコア (下記 * を参照) に基づいて合格しましたが、AMC 12 コンテストと一般的に簡単な AMC 10 コンテストの間に区別がなかったため、AMC 10 を受験した生徒が AMC 12 を受験した生徒よりも有利になりました。予選通過者の最初の選考 (上記 3. を参照) にいた 7 年生から 10 年生の生徒は、稀に自分で最低基準値を設定した場合を除き、AMC 10 を受験していたとしても合格していました。その場合、AMC 12 は依然として不利になります。

2002 年以降、毎年の USAMO 参加者を決定する際に、以下のガイドラインが採用されています。

1. 目標は、これまでの AIME および AMC 12A、AMC 12B、AMC 10A、AMC 10B コンテストで上位の得点を獲得した約 250 名を USAMO に参加させるために選出することです。
2. 選考は、学生の AIME スコアの 10 倍と AMC 12 または AMC 10 のスコアを足した値として定義される USAMO インデックスに基づいて行われます。
3. 最初の選考（全学年の参加者から構成）は、AMC 12A または AMC 12B コンテストを受験した学生のうち、USAMO 指数が最も高かった約 160 名になります。
4. 最初に選ばれた 160 人のうち最も低い AIME スコアによって最低値が決定されます。USAMO 参加者の 2 回目の選択は、最低値以上の AIME スコアを獲得した 7 年生から 10 年生の生徒のうち、USAMO 指数が最も高かった生徒から行われます。
5. 第 1 グループと第 2 グループの選択にまだ含まれていない各州、準州、または米国領土から最高の USAMO 指数を持つ学生が、USAMO を受験するよう招待されます。
6. コンテスト難易度の変動を調整するため、A コンテストと B コンテストから選ばれる学生の数は、（A コンテストと B コンテスト）を受験した学生の数に比例します。
7. 選考プロセスは、より数学的に総合的な AMC 12A および AMC 12B コンテストを受ける学生を優遇するように設計されています。

出典: アメリカ数学コンテスト

1998 年から 2001 年までは、次のガイドラインが使用されました。

• 第 1 グループ: 上位 120 名の学生。
• 第 2 グループ: 11 年生以下の次の 20 人の生徒。
• 第 3 グループ: 10 年生以下の次の 20 人の生徒。
• 第 4 グループ: 9 年生以下の次の 20 人の生徒。
• 第 5 グループ: 各州から 1 人の生徒、米国領土全体から 1 人の生徒、および APO/FPO 学校から 1 人の生徒 (最初の 4 つのグループに含まれていない場合)。

出典: アメリカ数学コンテスト

*2020年、AIME Iは2020年3月11日に通常通り開催されました。しかし、米国のほとんどの学校が閉鎖された直後に拡大したCOVID-19パンデミックにより、3月19日に予定されていたAIME IIと4月中旬に予定されていたUSA(J)MOは延期を余儀なくされました。両方の大会は最終的に6月に学生が自宅で参加するオンライン大会として再スケジュールされ、それぞれAOIME（American Online Invitational Mathematics Examination）とUSO(J)MO（United States Online (Junior) Mathematical Olympiad）に改名されました。これらはArt of Problem Solving（AoPS）が後援しました。

2002 年以来、USAMO は2 日間にわたって6 問 9 時間の数学証明コンテストとなっています ( IMO も同じ形式を採用しています)。各日、3 問に 4 時間半が与えられます。

各問題は 0 から 7 までのスケールで採点され、7 点は数学的に正しい証明を表します。したがって、満点は 42 点です。毎年の満点論文の数は、テストの難易度によって異なります。最高得点者は MAA によって発表され、その認知度は年々変化しています。詳細については、賞のセクションを参照してください。

0 から 7 までのスケールは次のようになります。

• 0 - 作業なし、またはまったく取るに足らない作業
• 1-2 - 問題は解決に向かっているが、完全には解決されていない
• 3-4 - すべてのステップが存在しますが、明確さに欠ける場合があります。(これらのスコアは非常にまれです。)
• 5-6 - 軽微なエラーを含む完全なソリューション
• 7 - 完璧な解決策

試験は 3 つの問題からなる 2 セットで構成されていました。各セットには 3 時間が割り当てられ、1 セットは午前 (9:00 ～ 12:00)、もう 1 セットは午後 (1:00 ～ 4:00) に実施されました。

試験は 5 つの問題で構成され、3 時間半 (以前は 3 時間) で解く必要がありました。各問題は 20 点満点で、満点は 100 点でした。

これまで、生徒は各自の高校で USAMO を受験してきました。2002 年以前は、問題は封筒で学校に郵送され、試験当日の指定時間前には開封されませんでした。2002 年以降、試験問題は AMC の Web サイト (以下のリンクを参照) に公式試験開始の 15 分前に掲載されています。生徒の回答は、試験期間の終了時に AMC オフィスにファックスで返送されます。

2002 年、アカマイ財団はアメリカ数学競技会の主要スポンサーとして、マサチューセッツ州ケンブリッジのMITで開催される中央イベントで全 USAMO 参加者をテストに招待しました。全費用は負担されました。さらに、アカマイは 2002 年の USAMO 参加者のうち高校 3 年生以外の全員 (約 160 名) を、拡大された数学オリンピック プログラム(別名「MOP」) に参加するよう招待しました。この中央イベントを毎年開催するには法外な費用がかかることから、中止されました。しかし、2004 年と 2005 年には、資金が確保され、通称「Red MOP」と呼ばれるプログラムで、30 名の 2 年生と 3 年生を MOP に派遣しました。

USAMO および USAJMO の上位参加者は、複数の参加基準に基づいて MOP に選出されます。2016 年現在、IMO チーム メンバー、USAMO の卒業していない次の約 18 人の学生、9 年生または 10 年生の次の約 12 人の USAMO 学生、USAJMO の上位約 12 人の学生、および USAMO または USAJMO からのさまざまな人数の女性参加者が MOP に招待され、中学生はケースバイケースで招待されます。

問題番号ごとに、各年のテストの科目を示します (つまり、各問題がどの科目からのものだったか)。微積分は許可されていますが、解答で必須ではありません。

問題番号ごとに、各年のテストの科目を示します (つまり、各問題がどの科目からのものだったか)。微積分は許可されていますが、解答で必須ではありません。

• USAMO: 2022 -

1. USAMOゴールド賞：競技者の少なくとも約6％（約16）
2. USAMOシルバー賞：競技者の少なくとも約12％（約32）
3. USAMOブロンズ賞：競技者の少なくとも約18％（約48）
4. USAMO優秀賞: 14ポイント以上を獲得した競技者（ただし、別の賞を受賞していないこと）。（2023年 - 現在）^[11]

• USAMO: 2021年以前

1. USAMO 優勝者: 上位 12 名
2. USAMO優秀賞: 次の約12名の出演者

• USAJMO: 2024

1. USAJMO 最高栄誉賞: 上位 9 名の競技者
2. USAJMO 栄誉賞: 次の 48 人の競技者
3. USAJMO 優秀賞: 別の賞を受賞していない限り、14 ポイント以上を獲得した競技者。

• USAJMO: 2023

1. USAJMO トップ受賞者: 最高得点を獲得した競技者 12 名以上 (実際の人数: 13 名)
2. USAJMO 優勝者: 参加者の次の約 20% (実数: 36)
3. USAJMO 優秀賞: 別の賞を受賞していない限り、14 ポイント以上を獲得した競技者。

• USAJMO: 2022

1. USAJMO優勝者: 上位約70名
2. USAJMO佳作: 次の約70人の競技者

• USAJMO: 2021年以前

1. USAJMO 優勝者: 上位 12 名
2. USAJMO佳作: 次の約12人の出演者

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