2つのコンデンサのパラドックス

2つのコンデンサのパラドックスまたはコンデンサのパラドックスは、電気回路理論におけるパラドックス、または直感に反する思考実験です。^{[1] [2]} この思考実験は通常、次のように説明されます。

2 つの同一のコンデンサが、その間のスイッチを開いた状態で並列に接続されています。コンデンサの 1 つは の電圧で充電され、もう 1 つは充電されていません。スイッチが閉じると、最初のコンデンサの電荷の一部が 2 番目のコンデンサに流れ込み、最初のコンデンサの電圧が低下し、2 番目のコンデンサの電圧が増加します。定常状態に達して電流がゼロになると、2 つのコンデンサは接続されているため、電圧は等しくなります。2 つのコンデンサの静電容量は同じなので、電荷はコンデンサ間で均等に分割され、各コンデンサの電荷は、電圧はになります。 ${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle Q=CV_{i}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {Q \over 2}}$${\displaystyle V_{f}={Q \over 2C}={V_{i} \over 2}}$

実験の開始時、回路内の総初期エネルギーは充電されたコンデンサに蓄えられたエネルギーです。 ${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle W_{i}={1 \over 2}CV_{i}^{2}}$

実験の終了時の最終エネルギーは、2 つのコンデンサのエネルギーの合計に等しくなります。 ${\displaystyle W_{f}}$

${\displaystyle W_{f}={1 \over 2}CV_{f}^{2}+{1 \over 2}CV_{f}^{2}=CV_{f}^{2}=C\left({V_{i} \over 2}\right)^{2}={1 \over 4}CV_{i}^{2}={1 \over 2}W_{i}}$

したがって、最終エネルギーは初期エネルギーの半分に等しくなります。初期エネルギーの残りの半分はどこへ行ったのでしょうか? ${\displaystyle W_{f}}$${\displaystyle W_{i}}$

この問題は、少なくとも1955年には電子工学の文献で議論されてきた。^{[3] [1] [4]} 科学における他のいくつかのパラドックスとは異なり、このパラドックスは基礎となる物理学によるものではなく、回路理論で使用される「理想回路」の慣例の限界によるものである。^[5] 上記の説明は、回路が理想的な回路要素で構成されていると仮定した場合、回路理論では通常、物理的に実現できない。回路内のワイヤと導体の直列抵抗が の場合、スイッチが閉じたときの初期電流は ${\displaystyle R}$

${\displaystyle i(t=0)={V_{\text{i}} \over R}}$

2 つのコンデンサ、スイッチ、およびコンデンサ自体を接続するワイヤが、通常のように電気抵抗やインダクタンスを持たないと理想化されている場合、スイッチを閉じると、異なる電圧のポイントが完全な導体に接続され、無限の電流が流れますが、これは不可能です。したがって、解決策には、回路内の要素の 1 つ以上の「理想的な」特性を緩和する必要がありますが、これは上記の説明では指定されていません。解決策は、回路要素の実際の特性に関するどの仮定を放棄するかによって異なります。

• 接続線にゼロ以外の抵抗があると仮定すると、それはRC 回路であり、電流は指数関数的にゼロに減少します。元の電荷はまったく失われないため、コンデンサの最終状態は上記のようになり、各コンデンサの初期電圧は半分になります。この状態では、2 つのコンデンサを合わせてエネルギーが半分になるため、抵抗の大きさに関係なく、初期エネルギーの半分がワイヤ抵抗で熱として消費されます。^{[6] : p.747-8、問題 27-6、p.750、問題 27-7}
• 電線にインダクタンスはあるが抵抗はないものと仮定すると、電流は無限大にはなりませんが、回路にはエネルギーを消費する部品がないため、説明で想定されているように定常状態に落ち着くことはありません。これは減衰のないLC回路を構成するため、電荷は2つのコンデンサー間を永久に往復し、2つのコンデンサーの電圧と電流は正弦波状に変化します。^{[4] [2]} 初期エネルギーは失われず、どの時点でも2つのコンデンサーのエネルギーと電線の周囲の磁場に蓄えられたエネルギーの合計は初期エネルギーと等しくなります。
• 接続ワイヤがインダクタンスを持ち抵抗がないことに加えて、長さがゼロでないと仮定すると、発振回路はアンテナとして機能し、電磁波（電波）を放射してエネルギーを失います。 ^{[4] [7] [8] [2]このエネルギー損失の影響は、回路に}放射抵抗 と呼ばれる抵抗がある場合とまったく同じであるため、回路はRLC回路と同等になります。ワイヤの振動電流は、指数関数的に減少する 正弦波になります。元の電荷は失われないため、コンデンサの最終状態は抵抗器の場合と同じになり、それぞれに初期電圧の半分がかかります。この状態ではコンデンサには初期エネルギーの半分が含まれているため、失われたエネルギーの半分は電磁波によって放射されていることになります。
• 長さとインダクタンスがゼロでないことに加えて、ワイヤに抵抗があると仮定すると、総エネルギー損失は同じで、初期エネルギーの半分になりますが、放射される電磁波と抵抗で放散される熱の間で分割されます。

コンポーネントの特性に関するより詳細な仮定に基づいて、さまざまな追加ソリューションが考案されました。

このパラドックスにはいくつかの代替バージョンがあります。1つは、2つのコンデンサが最初に等しく反対の電圧とで充電された元の回路です。[ ^4] もう1つの同等のバージョンは、完全な導体によって短絡された1つの充電されたコンデンサです。これらのケースでは、最終状態ではすべての電荷が中和され、コンデンサの最終電圧はゼロであるため、最初のエネルギーはすべて消えています。エネルギーがどこに行ったのかについての解決策は、前のセクションで説明したものと同様です。 ${\displaystyle +V_{i}}$${\displaystyle -V_{i}}$

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