時間加重収益

時間加重収益率（TWR）^{[1] [2]は}投資収益率を計算する方法であり、サブ期間にわたる収益が複合的に計算され、各サブ期間がその期間に応じて加重されます。時間加重法は、外部フローを補正する特定の方法において、投資収益率を計算する他の方法とは異なります。

時間加重収益は、外部フローを補償する投資ポートフォリオの過去のパフォーマンスの尺度です。外部フローは、現金、証券、またはその他の金融商品の移動から生じるポートフォリオへのまたはポートフォリオからの純価値の移動を指します。これらのフローは、購入や販売で発生するものとは異なり、同時、同額、反対の価値の取引がないという特徴があります。さらに、これらは、利子、クーポン、配当など、ポートフォリオの投資によって生み出される収入から発生するものではありません。

外部フローを補正するために、分析対象の全期間が、外部フローが存在する場合は常に、全期間内の各時点で連続するサブ期間に分割されます。通常、これらのサブ期間の長さは不等になります。外部フロー間のサブ期間の収益は、すべてのサブ期間の成長係数を掛け合わせることによって、幾何学的に（複利的に）結び付けられます。各サブ期間の成長係数は、サブ期間の収益に 1 を加えた値になります。

外部フローの問題を説明するために、次の例を考えてみましょう。

投資家が 1 年目の初めに 500 ドルをポートフォリオに移し、2 年目の初めにさらに 1,000 ドルを移し、2 年目の終わりにポートフォリオの合計値が 1,500 ドルになったとします。2 年間の純利益はゼロなので、直感的には、2 年間全体のリターンは 0% になると予想できます (これは、金銭加重方式の 1 つを適用した結果です)。2 年目の初めの 1,000 ドルのキャッシュ フローを無視すると、フローを補正せずにリターンを計算する単純な方法は 200% (1,000 ドルを 500 ドルで割った値) になります。直感的には、200% は正しくありません。

しかし、さらに情報を追加すると、別の図が浮かび上がります。最初の投資が最初の 1 年間で 100% 値上がりしたが、ポートフォリオが 2 年目に 25% 値下がりした場合、2 年間の全体的なリターンは、100% の利益 ($500) と 25% の損失 ($500) を複利で加算した結果になると考えられます。時間加重リターンは、各年の成長係数、つまりポートフォリオへの 2 回目の移管前と移管後の成長係数を掛け合わせ、1 を引いて、結果をパーセンテージで表すことで求められます。

${\displaystyle (1+1.0)(1-0.25)-1=2.0\times 0.75-1=1.5-1=0.5=50\%}$。

時間加重収益率から、2 年間にわたって純利益がなかったのは、2 年目の初めのキャッシュ インフローのタイミングが悪かったためであることがわかります。

この例では、時間加重リターンは投資家へのリターンを過大評価しているように見えます。なぜなら、投資家は純利益を見ていないからです。しかし、各年のパフォーマンスを均等に複利計算して反映することで、時間加重リターンは、2 年目の初めのキャッシュ フローのタイミングの悪さに関係なく、投資活動のパフォーマンスを認識します。すべての資金が 1 年目の初めに投資されていた場合、どの基準で見てもリターンは 50% になっていた可能性が高いでしょう。1,500 ドルは 1 年目の終わりには 100% 増加して 3,000 ドルになり、2 年目の終わりには 25% 減少して 2,250 ドルになり、結果として全体の利益は 750 ドル、つまり 1,500 ドルの 50% になります。この違いは見方の問題です。

フローがない場合のポートフォリオのリターンは次のようになります。

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-M_{1}}{M_{1}}}}$

ここで、はポートフォリオの最終値、はポートフォリオの初期値、は期間中のポートフォリオの収益です。 ${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle R}$

成長要因は次のとおりです。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}}}}$

分析期間中の外部フローはパフォーマンス計算を複雑にします。外部フローを考慮しないと、パフォーマンス測定が歪んでしまいます。ポートフォリオへのフローがあると、この方法では実際のパフォーマンスが誇張され、ポートフォリオからのフローがあると、実際のパフォーマンスが過小評価されることになります。

期間の初めにポートフォリオに流入する外部資金を補うために、ポートフォリオの初期値に を加えて調整します。リターンは次のようになります。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle R={\frac {M_{2}-(M_{1}+C_{1})}{M_{1}+C_{1}}}}$

対応する成長係数は次のようになります。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}}$

期間末の評価直前にポートフォリオに流入した外部資金を補うために、を差し引いてポートフォリオの最終価値を調整します。リターンは次のようになります。 ${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle R={\frac {(M_{2}-C_{2})-M_{1}}{M_{1}}}}$

対応する成長係数は次のようになります。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}}$

ポートフォリオが各外部フローの直後に評価されると仮定します。各サブ期間の終了時のポートフォリオの価値は、直前に発生した外部フローに合わせて調整されます。ポートフォリオへの外部フローは正とみなされ、ポートフォリオからのフローは負とみなされます。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}-C_{1}}{M_{0}}}\times {\frac {M_{2}-C_{2}}{M_{1}}}\times {\frac {M_{3}-C_{3}}{M_{2}}}\times \cdots \times {\frac {M_{n-1}-C_{n-1}}{M_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}-C_{n}}{M_{n-1}}}}$

どこ

${\displaystyle R}$ポートフォリオの時間加重収益率である。

${\displaystyle M_{0}}$ポートフォリオの初期価値は、

${\displaystyle M_{t}}$は、外部フローの直後のサブ期間の終了時のポートフォリオ価値です。${\displaystyle t}$${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$最終的なポートフォリオの価値は

${\displaystyle C_{t}}$は、サブ期間の終了直前に発生するポートフォリオへの純外部流入である。${\displaystyle t}$

そして

${\displaystyle n}$サブ期間の数です。

全体期間の終了時に外部フローが発生している場合、サブ期間の数はフローの数と一致します。ただし、全体期間の終了時にフローが発生していない場合は0 となり、サブ期間の数はフローの数より 1 多くなります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n}$

ポートフォリオが各フローの直後ではなく直前に評価される場合、各フローは終了値ではなく各サブ期間内の開始値を調整するために使用する必要があり、その結果、異なる式が得られます。

${\displaystyle 1+R={\frac {M_{1}}{M_{0}+C_{0}}}\times {\frac {M_{2}}{M_{1}+C_{1}}}\times {\frac {M_{3}}{M_{2}+C_{2}}}\times ...\times {\frac {M_{n-1}}{M_{n-2}+C_{n-2}}}\times {\frac {M_{n}}{M_{n-1}+C_{n-1}}}}$

どこ

${\displaystyle R}$ポートフォリオの時間加重収益率である。

${\displaystyle M_{0}}$ポートフォリオの初期価値は、

${\displaystyle M_{t}}$は、外部フローの直前のサブ期間の終了時のポートフォリオ価値です。${\displaystyle t}$${\displaystyle C_{t}}$

${\displaystyle M_{n}}$最終的なポートフォリオの価値は

${\displaystyle C_{t}}$は、サブ期間の初めにポートフォリオに流入する純外部資金である。${\displaystyle {t+1}}$

そして

${\displaystyle n}$サブ期間の数です。

時間加重という用語は、連続（対数）収益率で最もよく説明されます。全体の収益率は、各サブ期間の連続収益率の時間加重平均です。

流れがなければ、

${\displaystyle {\text{終了値}}={\text{開始値}}\times e^{r_{\mathrm {log} }t}}$

ここで、は継続的な収益率、は時間の長さです。 ${\displaystyle r_{\mathrm {log} }}$${\displaystyle t}$

10 年間にわたって、ポートフォリオは 3 年間は年率 5% の継続的な収益率で成長し、残りの 7 年間は年率 10% の継続的な収益率で成長します。

${\displaystyle {\text{終了値}}={\text{開始値}}\times e^{0.05\times 3}\times e^{0.10\times 7}}$

${\displaystyle ={\text{開始値}}\times e^{\left(0.05\times {\frac {3}{10}}+0.10\times {\frac {7}{10}}\right)\times 10}}$

10 年間の継続的な時間加重収益率は、時間加重平均です。

${\displaystyle 5\%\times {\frac {3}{10}}+10\%\times {\frac {7}{10}}={\frac {5\%\times 3+10\%\times 7}{10}}=8.5\%}$

5 年間のうち 2 年間は年率 10%、残りの 3 年間は年率 -3% の投資の 5 年間の年間通常収益率を計算する別の例を考えてみましょう。5 年間の通常時間加重収益率は次のようになります。

${\displaystyle (1+0.10)(1+0.10)(1-0.03)(1-0.03)(1-0.03)-1}$

${\displaystyle =1.1^{2}\times 0.97^{3}-1}$

${\displaystyle =0.104334\ldots}$

${\displaystyle =10.4334\ldots \%}$

年率換算すると、収益率は次のようになります。

${\displaystyle (1.1^{2}\times 0.97^{3})^{1/(2+3)}-1}$

${\displaystyle =1.0200\ldots -1}$

${\displaystyle =2.00\ldots \%{\text{pa}}}$

収益率が 10% であった期間は 2 年間であり、これは 1.1 係数の 2 乗で表されます。

${\displaystyle 1.1^{2}}$

同様に、収益率は 3 年間で -3% となり、0.97 係数の 3 乗で表示されます。結果は、5 年間全体で年率換算されます。

投資マネージャーは、自分の管理下にある投資活動に基づいて評価されます。投資マネージャーが資金の流れのタイミングを制御できない場合、資金の流れのタイミングを補正し、ポートフォリオに真の時間加重収益率法を適用することは、ポートフォリオ全体のレベルで投資マネージャーのパフォーマンスを測定する優れた方法となります。

内部フローは、ポートフォリオ内の保有資産の購入や売却などの取引であり、購入に使用された現金と売却の現金収入も同じポートフォリオに含まれているため、外部フローはありません。ポートフォリオ内の株式の現金配当は、株式と同じポートフォリオに保持され、ポートフォリオ内の株式から現金口座へのフローです。これはポートフォリオの内部ですが、株式と現金口座を個別に、互いに切り離して考えると、両方に対して外部です。

時間加重法では、内部フローの規模とタイミングに起因する効果（つまり、ポートフォリオ全体のパフォーマンスに影響を及ぼすもの）のみを捕捉します。これは、時間加重法がフローの影響を中和するのと同じ理由によるものです。したがって、時間加重法では、ポートフォリオ全体のパフォーマンスを捕捉するのと同じくらい効果的に、個々の証券レベルの決定によるパフォーマンスなど、ポートフォリオの一部のパフォーマンスを捕捉しません。

特定の証券の時間加重収益は、中間購入および売却の有無、その時期、規模、および現在の市況に関係なく、最初の購入から最終的な売却まで同じです。これは常に株価パフォーマンス（配当などを含む）と一致します。時間加重収益のこの特徴が望ましい目的でない限り、時間加重法は、個々の金融商品のレベルでの投資パフォーマンスの帰属に関する他の方法論よりも有益性が低いと言えます。個々の証券レベルでのパフォーマンスの帰属が意味を持つかどうかは、多くの場合、収益が株価の収益と異なるかどうかにかかっています。個々の証券の収益が株価の収益と一致する場合、取引のタイミングの影響はゼロです。

時間加重法のこの機能を説明する以下の例 4 を参照してください。

投資家が 1 株あたり 10 ドルで 10 株を購入したとします。その後、投資家は同じ会社の株式を 1 株あたり 12 ドルの市場価格でさらに 5 株追加購入します (取引コストは無視)。保有している 15 株すべてを 1 株あたり 11 ドルで売却します。

2 回目の購入は、最初の購入と比べてタイミングが悪かったようです。ポートフォリオの現金とは別に、株式の時間加重（保有期間）収益率から、このタイミングの悪さは明らかでしょうか。

これらの特定の株式保有の時間加重収益を、株式購入に使用した現金とは別に計算するには、株式購入を外部流入として扱います。すると、最初の 10 株のみがある場合の 2 回目の購入に先立つ最初のサブ期間の成長係数は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\text{終了値}}{\text{開始値}}}={\frac {10\times 12}{10\times 10}}={\frac {120}{100}}=1.2}$

2 回目の購入後の 2 番目のサブ期間の成長率は、合計 15 株の場合、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\text{終了値}}{\text{開始値}}}={\frac {15\times 11}{15\times 12}}={\frac {165}{180}}=0.91666\ldots }$

したがって、全体の期間成長係数は次のようになります。

${\displaystyle {\text{Product of sub-period growth factors}}={\text{first sub-period growth factor}}\times {\text{second sub-period growth factor}}}$

${\displaystyle ={\frac {120}{100}}\times {\frac {165}{180}}}$

${\displaystyle ={\frac {120\times 165}{100\times 180}}}$

${\displaystyle ={\frac {19,800}{18,000}}}$

${\displaystyle =1.1}$

時間加重保有期間リターンは次のようになります。

${\displaystyle {\text{Growth factor}}-1=0.1=10\%}$

これは株価の変化を使用して計算された単純なリターンと同じです。

${\displaystyle ={\frac {{\text{End value}}-{\text{start value}}}{\text{start value}}}={\frac {11-10}{10}}}$

2 回目の購入のタイミングが悪かったとしても、時間加重法を使用して計算した株式投資のパフォーマンスには影響がなく、たとえば純粋な買い持ち戦略 (つまり、最初にすべての株式を購入し、期間の終わりまで保有する) と比較した場合です。

投資収益を計算する際に外部フローを補正する方法は他にもあります。このような方法は、「金額加重」または「ドル加重」方式として知られています。外部フローのタイミングが悪い場合、時間加重収益は他の投資収益計算方法の結果よりも高くなります。上記の例 4 を参照してください。

これらの方法の 1 つが内部収益率です。真の時間加重収益法と同様に、内部収益率も複利の原理に基づいています。すべての外部フローの正味現在価値と最終価値を初期投資の価値と等しく設定するのは割引率です。ただし、内部収益率の推定値を求める方程式を解くには、通常、反復的な数値法が必要であり、複数の結果が返されることもあります。

内部収益率は、プライベート エクイティ投資のパフォーマンスを測定するためによく使用されます。これは、リミテッド パートナー (最終投資家) よりもプリンシパル パートナー (投資マネージャー) の方がキャッシュ フローのタイミングをより細かく制御できるためです。

シンプルディーツ法^[3]は、内部収益率法の根底にある複利原理とは対照的に、単純な利率原理を適用し、さらにフローが時間間隔内の中間点で発生する（または時間間隔全体に均等に分配される）と仮定します。ただし、このような仮定が無効な場合はシンプルディーツ法は不適切であり、そのような場合には他の方法とは異なる結果が生成されます。

同じ期間のポートフォリオ内の 2 つ以上の異なる構成資産の単純なディーツ リターンを組み合わせて、加重平均を取ることで単純なディーツ ポートフォリオ リターンを導き出すことができます。加重は、開始値に純流入額の半分を加えた値です。

上記の例 4 で購入した株式にシンプル ディーツ法を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {\text{gain or loss}}{{\text{start value}}+{\frac {1}{2}}\times {\text{net inflow}}}}}$

${\displaystyle {\text{Gain or loss}}={\text{end value}}-{\text{start value}}-{\text{net inflow}}}$

${\displaystyle =165-100-60}$

${\displaystyle =5}$

それで

${\displaystyle {\text{Simple Dietz return}}={\frac {5}{100+{\frac {1}{2}}\times 60}}}$

${\displaystyle ={\frac {5}{130}}}$

${\displaystyle =3.86\%{\text{ (2 d. p.)}}}$

これは 10% の時間加重収益率よりも著しく低いです。

修正ディーツ法は、単純ディーツ法と同様に、単純な利子率の原則を適用する別の方法です。価値の増加（フローの純額）をポートフォリオの初期価値と比較する代わりに、価値の純増加を一定期間の平均資本と比較します。平均資本は、各外部フローのタイミングを考慮します。修正ディーツ法と内部収益率法の違いは、修正ディーツ法が単純な利子率の原則に基づいているのに対し、内部収益率法は複利の原則を適用する点であるため、収益率が低い場合、2 つの方法は短期間では同様の結果をもたらします。より長い期間では、ポートフォリオのサイズに比べてフローが大きく、収益が低くない場合、違いはさらに大きくなります。

単純なディーツ法と同様に、同じ期間のポートフォリオ内の 2 つ以上の異なる構成資産の修正ディーツ収益を加重平均して組み合わせ、修正ディーツ ポートフォリオ収益を導き出すことができます。この場合、各資産の収益に適用される重みは、資産の平均資本です。

例 4 および 5 で説明したシナリオを再度参照すると、2 回目の購入が全体の期間のちょうど半分の時点で発生した場合、修正 Dietz 法は単純な Dietz 法と同じ結果になります。

2 回目の購入が全体の期間の半分より早い場合、利益は 5 ドルのまま変わりませんが、平均資本は開始値に純流入の半分を加えた値よりも大きくなり、修正ディーツ リターンの分母は単純ディーツ法の分母よりも大きくなります。この場合、修正ディーツ リターンは単純ディーツ リターンよりも小さくなります。

2 回目の購入が全体の期間の半分より後の場合、利益は 5 ドルのまま変わりませんが、平均資本は開始値に純流入の半分を加えた値よりも少なくなるため、修正ディーツ リターンの分母は単純ディーツ法の分母よりも小さくなります。この場合、修正ディーツ リターンは単純ディーツ リターンよりも大きくなります。

2 回目の株式購入が期間中のどの段階で行われたとしても、平均資本は 100 を超えるため、修正ディーツの収益率は 5 パーセント未満になります。これは、10 パーセントの時間加重収益率よりも依然として著しく低い値です。

「真の時間加重収益」の計算は、投資期間中のポートフォリオ評価の可用性に依存します。各フローの発生時に評価が利用できない場合、評価が利用可能なサブ期間の終了時点を使用して、連続するサブ期間の収益を幾何学的にリンクすることによってのみ、時間加重収益を推定できます。このような近似的な時間加重収益法では、真の時間加重収益が過大評価または過小評価される傾向があります。

リンク内部収益率 (LIROR) は、真の時間加重収益を概算するために時々使用される別の方法です。これは、真の時間加重収益率法と内部収益率(IRR) 法を組み合わせたものです。内部収益率は、一定の期間にわたって推定され、その結果は幾何学的にリンクされます。たとえば、連続する年の内部収益率が 4%、9%、5%、11% の場合、LIROR は 1.04 x 1.09 x 1.05 x 1.11 – 1 = 32.12% になります。一定の期間が年でない場合は、まず各期間の IRR の非年次化保有期間バージョンまたは各期間の IRR を計算し、次にそれぞれを期間の保有期間収益に変換し、これらの保有期間収益をリンクして LIROR を取得します。

外部フローがない場合、これらすべての方法（時間加重収益率、内部収益率、修正ディーツ法など）は同じ結果をもたらします。フローを処理するさまざまな方法だけが、それぞれの方法の違いとなります。

連続収益法または対数収益法は、フローに対する補償の競合方法ではありません。これは単に成長係数の 自然対数です 。${\displaystyle ln\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)}$

手数料控除後の収益を測定するには、ポートフォリオの価値を手数料の額だけ減額します。手数料控除後の収益を計算するには、手数料を外部フローとして処理して補正し、発生した手数料のマイナスの影響を評価から除外します。

リターンと収益率は同じ意味として扱われることもありますが、時間加重法などの方法で計算されるリターンは、保有期間が 1 年でない限り、年 (または他の時間単位) あたりではなく、ドル (または他の通貨単位) あたりの保有期間リターンです。年次化、つまり年間収益率への変換は別のプロセスです。収益率の記事を参照してください。

• 内部収益率
• 修正ディーツ法
• 収益率
• ポートフォリオの収益率
• シンプルなディーツ法

• カール・ベーコン。実践的ポートフォリオパフォーマンス測定とアトリビューション。ウェスト・サセックス：ワイリー、2003年。ISBN 0-470-85679-3 
• ブルース・J・ファイベル著『投資パフォーマンス測定』ニューヨーク：ワイリー、2003年。ISBN 0-471-26849-6