テブナンの定理

図 1.抵抗、電圧源、電流源のみを含むブラックボックスは、等価抵抗と直列に接続された等価電圧源で構成されるテブナン等価回路に置き換えることができます。

もともと直流抵抗回路のみについて述べられていたテブナンの定理は、「電圧源、電流源、抵抗のみを含む任意の線形電気ネットワークは、端子 $A-Bにおいて、$ 直列接続された電圧源 $V$ $th$ と抵抗 $R$ $th$ の同等の組み合わせに置き換えることができる」と述べています。

等価電圧 $V th$ $は、端子A-Bが$ 開回路のネットワークの端子 $A-B$ で得られる電圧です。
等価抵抗 $R th$ は、回路内のすべての理想 $的な電圧源が$ $短絡$ 回路に置き換えられ、すべての理想的な電流源が開回路に置き換えられた場合（つまり、電圧と電流がゼロになるようにソースが設定されている）に、端子 A と B 間の回路が持つ抵抗です。
端子 $A$ と $B$ が互いに接続（短絡）されている場合、 $A$ と $B$ から流れる電流はテブナン等価回路に従います。つまり、 $R$ $th は$ $、 A$ と $B$ が接続されたときの短絡電流で $V$ $th を$ 割ったものとして計算することもできます。 ${\textstyle {\frac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}}$

回路理論の用語では、この定理により、任意の1 ポートネットワークを単一の電圧源と単一のインピーダンスに縮小することができます。

この定理は、リアクティブ（誘導性および容量性）および抵抗性インピーダンスで構成される周波数領域の AC 回路にも適用されます。つまり、抵抗がインピーダンスに一般化されることを除けば、この定理は DC とまったく同じように AC に適用されます。

この定理は、1853年にドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって独立に導き出され、1883年にはフランスの国立通信機関Postes et Télégraphesの電気技師レオン・シャルル・テブナン（1857年 - 1926年）によっても導き出されました。 ^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

テブナンの定理とその双対であるノートンの定理は、回路解析を簡素化し、回路の初期条件と定常応答を研究するために広く使用されています。^[8]^{[9]テブナンの定理は、任意の回路の電源とインピーダンスを}テブナンの等価物に変換するために使用できます。この定理を使用すると、キルヒホッフの回路法則を使用するよりも便利な場合があります。^[7]^[10]

定理の証明

テブナンの定理にはさまざまな証明がなされてきました。おそらく最も簡単なのは、テブナンの原著論文の証明でしょう。^[3]この証明は簡潔で理解しやすいだけでなく、テブナンの証明は正確で汎用性が高いというコンセンサスも存在します。 ^[4]証明は次のようになります。

インピーダンス、(定)電圧源、(定)電流源を含むアクティブネットワークを考えてみましょう。ネットワークの構成は任意です。ネットワークへのアクセスは、一対の端子によって行われます。図 2 の左側のボックスに示すように、端子間で測定された電圧を $V θと指定します。$

ボックス内の電圧源を短絡回路に、電流源を開放回路に置き換えたとします。これを行うと、端子間に電圧は発生せず、端子間のインピーダンスを測定できます。このインピーダンスを $Z θ$ と呼びます。

$ここで、図 2a のように、インピーダンスZ e$ $を持つ$ 線形ネットワークをボックスの端子に接続するとします。Z $e を$ 流れる電流 $I$ を求めます。Z $e を$ $接続$ した後、端子電圧は $V$ $θ$ にならないため、答えは明らかではありません。

$代わりに、図 2b に示すように、インピーダンスZ e$ $と直列に、起電力Eが$ $V θ$ に等しいが $V θ$ と反対の方向を向く電源を接続するとします。E $が$ $V$ $θ と$ 釣り合うため、 $Z e$ に電流は流れません。

次に、別の起電力源 $E 1を$ $Z e$ と直列に挿入します。ここで、 $E 1 は$ $E$ と同じ大きさですが、方向が反対です (図 2c を参照)。電流 $I 1 は次のように決定できます。これは、他のすべてのソース (アクティブネットワーク内および外部ネットワーク内) をゼロに設定し、$ $E 1$ が単独で動作することによって生じる電流です。したがって、この電流は、

$I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\シータ }}}$

$Z e は$ ボックスの外部のインピーダンスであり、 $Z θ は$ ボックスのソースがゼロのときにボックス内を見たときのインピーダンスだからです。

最後に、 $E$ と $E 1は$ 電流を変えずに一緒に取り除くことができ、取り除くと図2aに戻ります。したがって、 $I 1 は$ 私たちが求めている電流 $Iであり、つまり$

$I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}$

これで証明は完了です。図2dはテブナン等価回路を示しています。

ヘルムホルツの証明

前述のように、テブナンの定理はドイツの科学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによって1853年に初めて発見され、発表されました。 ^[1]テブナンが生まれる4年前です。上で述べたように、テブナンの1883年の証明は、現代の電気工学の方法に精神的に近いため、彼の名前が定理とより一般的に結び付けられている理由が説明できます。^[11]ヘルムホルツによるこの問題の初期の定式化は、物理学に近い、より一般的なアプローチを反映しています。

ヘルムホルツは 1853 年の論文で、「物理的に広範囲にわたる導体」、特に動物組織の起電特性について検討しました。彼は、生理学者エミール・デュ・ボワ＝レーモンによる以前の研究で、「刺激を受ける筋肉のあらゆる小さな部分でも電流を生成できる」ことが示されていることに着目しました。このとき、動物組織のサンプルに 2 点の検流計を取り付け、外部回路を流れる電流を測定するという実験が行われました。この研究の目的は組織の内部特性を理解することであったため、ヘルムホルツはそれらの内部特性を外部で測定された電流と関連付ける方法を見つけたいと考えました。

ヘルムホルツの出発点は、 1848 年にグスタフキルヒホフが発表した結果でした。^[12]ヘルムホルツと同様に、キルヒホフは 3 次元の電気伝導システムについて考えていました。キルヒホフは、2 つの部分から成るシステムを検討し、それを部分 A と部分 B と名付けました。部分 A (上の図 2 の「アクティブネットワーク」の役割を果たす) は、端から端まで接続された導体の集合で構成され、各導体は起電力と抵抗によって特徴付けられます。部分 B は、2 本のワイヤを介して部分 A のエンドポイントに接続されていると想定されました。次に、キルヒホフは (p. 195)、「B のどの点でも流れを変えることなく、A の代わりに、A の電圧差の合計に等しい起電力があり、A の要素の抵抗の合計に等しい抵抗を持つ導体を使用できる」ことを示しました。

ヘルムホルツは 1853 年の論文でキルヒホッフの結果を認めたが、それは「水力電池のように」A に閉じた電流曲線が存在せず、むしろそのような曲線はすべて B を通過する場合にのみ有効であると指摘した。そこで彼は、キルヒホッフの結果を、システム A 内の電流と電圧源の任意の 3 次元分布の場合に一般化しようとした。

ヘルムホルツは、重ね合わせの原理について、これまで発表されていたものよりも一般的な定式化を提供することから始め、それを次のように表現しました（p. 212-213）。

導体システムのさまざまな場所に起電力が含まれている場合、電流が流れるシステム内の各ポイントの電圧は、起電力のそれぞれが他の起電力とは独立して生成する電圧の代数和に等しくなります。同様に、3 つの垂直軸に平行な電流強度の成分は、個々の力に属する対応する成分の合計に等しくなります。

ヘルムホルツはこの定理とオームの法則を用いて、「物理的」システム A の内部電圧と電流、および表面の 2 点で A に接続されていると想定される「線形」システム B を流れる電流の関係について、次の 3 つの定理を証明しました。

内部起電力が任意に分布しているすべての導体 A について、その表面で起電力の特定の分布を指定でき、これにより、適用されるすべての導体 B で A の内部力と同じ電流が生成されます。
外部回路が接続されている場合の導体 A 内部の電圧と電流成分は、接続された回路がない場合に導体 A に発生する電圧と電流成分と表面の電圧と電流成分の合計に等しくなります。
導体 A の表面上の起電力を分散させるさまざまな方法は、その内部力と同じ派生電流を与えるはずであり、表面上のすべての点で同じ定数値を持つ差によってのみ異なります。

ヘルムホルツはこれらから最終的な結果を導き出しました（p. 222）。

表面上の特定の 2 点に一定の起電力を持つ物理的な導体を任意の線状導体に接続すると、その代わりに、特定の起電力と特定の抵抗を持つ線状導体を常に代用できます。これにより、適用されるすべての線状導体で、物理的な電流とまったく同じ電流が励起されます。... 代用する線状導体の抵抗は、線状導体の 2 つの入口から電流が通過するときの物体の抵抗に等しくなります。

そして彼は、一般的な「物理システム」に対して導き出された彼の結果は、キルヒホッフが考えたような「線形」（幾何学的な意味で）回路にも当てはまると指摘した。

すべての物理的な導体に当てはまることは、分岐線形電流システムの特殊なケースにも当てはまります。このようなシステムの特定の 2 つのポイントが他の線形導体に接続されている場合でも、そのシステムは、それらと比較して、特定の抵抗 (その大きさは分岐線路のよく知られた規則に従って見つけることができます) と特定の起電力 (追加された回路の前に存在していた導出ポイントの電圧差によって与えられます) を持つ線形導体のように動作します。

この定理の定式化は、30年後に発表されたテブナンの定理と本質的に同じです。

テブナン等価物の計算

線形電気回路のテブナン等価回路は、抵抗 $R$ $thと直列に接続された電圧$ $V th$ の電圧源です。

テブナン等価電圧 $V th は$ 、元の回路の出力端子における開回路電圧です。テブナン等価電圧を計算する場合、一方の端子を $V$ $out$ とし、もう一方の端子を接地点とすることで、電圧分割原理が役立つことがよくあります。

テブナン等価抵抗 $R Th は$ 、回路を「振り返って」ポイント $A$ と $B$ 間で測定された抵抗です。抵抗は、すべての電圧源と電流源をその内部抵抗に置き換えた後に測定されます。つまり、理想的な電圧源は短絡回路に置き換えられ、理想的な電流源は開回路に置き換えられます。その後、直列回路と並列回路の公式を使用して、端子間の抵抗を計算できます。この方法は、独立したソースを持つ回路にのみ有効です。回路に従属ソースがある場合は、 $A$ と $B$ の間にテストソースを接続し、テストソースの電圧またはテストソースを流れる電流を計算するなど、別の方法を使用する必要があります。

記憶法として、電圧源と電流源のテブナン置換は、その値 (電圧または電流) がゼロに設定されていると覚えることができます。ゼロ値の電圧源は、2 つのリード線が接触している理想的な短絡と同様に、端子間にゼロボルトの電位差を生成します。したがって、その電圧源は短絡に置き換えられます。同様に、ゼロ値の電流源と開回路はどちらもゼロ電流を流します。

例

この例では、等価電圧を計算します。(上記の計算は $A$ と $B の$ 間の開回路状態で行われるため、 $R$ $1 は考慮されていないことに注意してください。したがって、この部分には電流が流れず、つまり$ $R$ $1$ に電流が流れず、したがってこの部分に沿った電圧降下はありません。) ${\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \オメガ +1\,\mathrm {k} \オメガ \over (1\,\mathrm {k} \オメガ +1\,\mathrm {k} \オメガ )+2\,\mathrm {k} \オメガ }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={ 1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}$

等価抵抗の計算（ $R x || R y は$ 2つの並列抵抗器の合計抵抗です）： ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}$

Norton 相当への変換

ノートン等価回路はテブナン等価回路と次のように関係している。 ${\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}$

実用的な制限

多くの回路は特定の値の範囲でのみ線形であるため、テブナン等価回路はこの線形範囲内でのみ有効です。
テブナン等価回路は、回路に接続された負荷の観点からのみ、元の回路と等価な I-V 特性を持ちます。
テブナン等価回路の消費電力は、実際のシステムの消費電力と必ずしも同じではありません。ただし、2 つの出力端子間の外部抵抗器によって消費される電力は、内部回路の実装方法に関係なく同じです。

三相回路では

1933年、ATスターは、電気技術者協会誌の「アクティブネットワークのための新しい定理」と題する論文で、テブナンの定理の一般化を発表しました。^{[13]それによると、任意の3端子アクティブ線形ネットワークは、}Y字型またはデルタ型に接続された、対応するインピーダンスを持つ3つの電圧源に置き換えることができます。

参照

参考文献

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さらに読む

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一次フィルタ: テブナン等価ソースによるショートカット - 4 ページで、複雑な回路のテブナンの定理を一次ローパスフィルタに簡略化したもの、および関連する分圧器、時定数、ゲインを示します。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズのテブナンの定理に関連するメディア

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