戸田発振器

物理学において、戸田振動子は特殊な種類の非線形振動子である。これは、隣接する粒子間の指数関数的なポテンシャル相互作用を持つ粒子の鎖を表す。^{[1]これらの概念は}戸田守一に ちなんで名付けられている。戸田振動子は、過渡状態における 固体レーザーの出力強度の準周期的な脈動である自己脈動現象を理解するための単純なモデルとして使用される。

戸田振動子は、従属座標と独立座標で記述できる任意の起源の力学系であり、独立座標に沿った発展は次式で近似できること が特徴です。${\displaystyle ~x~}$${\displaystyle ~z~}$${\displaystyle ~z~}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,}$

ここで 、、プライムは導関数を表します。 ${\displaystyle ~D(x)=ue^{x}+v~}$${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$

独立座標には時間の意味があります。実際、のような関係で時間に比例する可能性があり、ここで は定数です。 ${\displaystyle ~z~}$${\displaystyle ~t~}$${\displaystyle ~z=t/t_{0}~}$${\displaystyle ~t_{0}~}$

導関数は 座標を持つ粒子の速度の感覚を持つ可能性があり、その場合は加速度として解釈でき、そのような粒子の質量は 1 に等しくなります。 ${\displaystyle ~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}$${\displaystyle ~x~}$${\displaystyle ~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~}$

散逸関数は速度比例摩擦係数の意味を持つ場合があります。 ${\displaystyle ~D~}$

通常、パラメータと は両方とも正であると考えられます。その場合、この速度に比例した摩擦係数は、座標 の大きな正の値で指数関数的に増加します。 ${\displaystyle ~u~}$${\displaystyle ~v~}$${\displaystyle ~x~}$

ポテンシャルは固定関数であり、座標の大きな正の値では指数関数的な増加も示します。 ${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$${\displaystyle ~x~}$

レーザー物理学への応用では、はレーザーキャビティ内の光子数の対数のような意味を持ち、その定常値と関連している可能性があります。この場合、このようなレーザーの出力は に比例し、の振動で脈動を示す可能性があります。 ${\displaystyle ~x~}$${\displaystyle ~\exp(x)~}$${\displaystyle ~x~}$

質量が 1 の粒子と光子数の対数の両方の類推は、戸田振動子の動作の分析に役立ちます。

厳密に言えば、振動は でのみ周期的である。実際、戸田発振器を自己パルスレーザーとして実現する場合、これらのパラメータは のオーダーの値を取る可能性があり、いくつかのパルスの間、脈動の振幅はあまり変化しない。この場合、関数はほぼ周期的であるため、脈動の周期について話すことができる。 ${\displaystyle ~u=v=0~}$${\displaystyle ~10^{-4}~}$${\displaystyle ~x=x(t)~}$

の場合、振動子のエネルギーは に依存せず、運動定数として扱うことができる。すると、1周期の脈動において、との関係は解析的に表現できる。 ^{[2] [3]}${\displaystyle ~u=v=0~}$${\displaystyle ~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~}$${\displaystyle ~z~}$${\displaystyle ~x~}$${\displaystyle ~z~}$

${\displaystyle z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}}$

ここで 、 およびは の最小値と最大値です。この解は の場合について書かれています。 ${\displaystyle ~x_{\min }~}$${\displaystyle ~x_{\max}~}$${\displaystyle ~x~}$${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$

ただし、並進不変性の原理を使用すると、他の解が得られる可能性があります。

比は脈動の振幅を特徴付けるのに便利なパラメータです。これを使用すると、中央値 を と 表すことができます。また、エネルギー も の基本関数です。 ${\displaystyle ~x_{\max}/x_{\min}=2\gamma ~}$${\displaystyle \delta ={\frac {x_{\max}-x_{\min}}{1}}}$${\displaystyle \delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}}$${\displaystyle E=E(\gamma )={\frac {\gamma }{\tanh(\gamma )}}+\ln {\frac {\sinh \gamma }{\gamma }}-1}$${\displaystyle ~\gamma ~}$

応用上、この量はシステムの物理的エネルギーである必要はありません。このような場合、この無次元量は準エネルギーと呼ばれることがあります。 ${\displaystyle E}$

脈動周期は振幅の増加関数です。 ${\displaystyle ~\gamma ~}$

のとき、期間 ${\displaystyle ~\gamma \ll 1~}$${\displaystyle ~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~}$

のとき、期間 ${\displaystyle ~\gamma \gg 1~}$${\displaystyle ~T(\gamma )=4\gamma ^{1/2}\left(1+O(1/\gamma )\right)~}$

全域にわたって 、周期と周波数は次のように近似できる。 ${\displaystyle ~\gamma >0~}$${\displaystyle ~{T(\gamma )}~}$${\displaystyle ~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~}$

${\displaystyle k_{\text{fit}}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}=}$

${\displaystyle \left({\frac {10630+674\gamma +695.2419\gamma ^{2}+191.4489\gamma ^{3}+16.86221\gamma ^{4}+4.082607\gamma ^{5}+\gamma ^{6}}{10630+674\gamma +2467\gamma ^{2}+303.2428\gamma ^{3}+164.6842\gamma ^{4}+36.6434\gamma ^{5}+3.9596\gamma ^{6}+0.8983\gamma ^{7}+{\frac {16}{\pi ^{4}}}\gamma ^{8}}}\right)^{1/4}}$

少なくとも 8 桁の有効数字が必要です。この近似値の相対誤差はを超えません。 ${\displaystyle 22\times 10^{-9}}$

およびの値が小さい（ただし正である）場合、脈動はゆっくりと減衰し、この減衰は解析的に記述できる。最初の近似では、パラメータおよび が減衰に加法的に寄与する。減衰率、ならびに非線形振動の振幅と位相は、上記の周期と同様の方法で基本関数で近似できる。理想化された戸田発振器の挙動を記述する際、このような近似の誤差は、理想と光学ベンチでの自己パルスレーザーとしての実験的実現との間の差よりも小さい。しかし、自己パルスレーザーは質的に非常によく似た挙動を示す。^[3]${\displaystyle ~u~}$${\displaystyle ~v~}$${\displaystyle ~u~}$${\displaystyle ~v~}$

戸田連鎖の運動方程式は、隣接粒子間の距離がゼロになる連続極限では、コルテヴェク・ド・フリース方程式（KdV）になります。^[1]ここで、連鎖内の粒子にラベルを付けるインデックスが新しい空間座標になります。

対照的に、戸田場の理論は、鎖のインデックスラベルに依存しない新しい空間座標を導入することによって達成されます。これは相対論的に不変な方法で行われるため、時間と空間は同等に扱われます。^[4]これは、戸田場の理論が戸田鎖の連続的な限界ではないことを意味します。