薄板スプライン

薄板スプライン( TPS ) は、データの補間と平滑化のためのスプラインベースの手法です。「スプラインは、多項式によって区分的に定義された関数です。」^{[1] [2]デュションによって幾何}学的設計に導入されました。^[3]多調和スプラインの重要な特殊なケースです。ロバストポイントマッチング (RPM) は一般的な拡張であり、略して TPS-RPM アルゴリズムとして知られています。^[4]

薄板スプラインという名前は、金属のプレートまたは薄いシートを曲げるという物理的な類似性を指します。金属が剛性を持つのと同じように、TPS フィットも曲げに抵抗するため、フィットした表面の滑らかさにペナルティが課せられます。物理的な設定では、たわみは平面に直交する方向です。この考え方を座標変換の問題に適用するには、プレートの持ち上げを平面内の座標または座標の変位として解釈します。2D の場合、対応する制御点 (ノット) のセットが与えられると、TPS ワープは、6 つのグローバル アフィン モーション パラメーターと制御点の対応係数を含むパラメーターによって記述されます。これらのパラメーターは線形システムを解くことによって計算されます。つまり、TPS には閉じた形式のソリューションがあります。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 2(K+3)}$${\displaystyle 2K}$

TPS は、2 次導関数の 2 乗の積分を考慮することで生じます。これが、その滑らかさの尺度となります。が 2 次元の場合、補間のために、TPS は対応する点集合間のマッピング関数を適合させ、次のエネルギー関数を最小化します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \{y_{i}\}}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}}$

平滑化バリアントでは、同様に、チューニングパラメータを使用して変形の剛性を制御し、前述の基準と適合度の尺度とのバランスをとり、以下を最小限に抑えます。^{[1] [2]}${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} ,\mathrm {smooth} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}+\lambda \iint \left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}\right]{\textrm {d}}x_{1}\,{\textrm {d}}x_{2}}$

この変分問題では、一意の最小化関数 が存在することが示されます。^[5]この変分問題の有限要素離散化である弾性マップ法は、データマイニングや非線形次元削減に使用されます。簡単に言えば、「最初の項は誤差測定項として定義され、2番目の正規化項は の滑らかさに対するペナルティです。」^{[1] [2]}一般的なケースでは、マッピングを一意にする必要があります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

薄板スプラインは、ラジアル基底関数の観点から自然な表現を持っています。制御点の集合が与えられた場合、ラジアル基底関数は、空間内の任意の位置を新しい位置 にマッピングする空間マッピングを定義します。これは、 ${\displaystyle \{c_{i},i=1,2,\ldots ,K\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{K}w_{i}\varphi (\left\|x-c_{i}\right\|)}$

ここで、 は通常のユークリッドノルムを表し、 はマッピング係数のセットです。TPS はラジアル基底カーネル に対応します。 ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$${\displaystyle \{w_{i}\}}$${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}\log r}$

点が2次元( )にあると仮定します。点がベクトル として表される点集合には同次座標を使用できます。一意の最小化子は によってパラメータ化され、これは2つの行列と( ) で構成されます。${\displaystyle D=2}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle (1,y_{ix},y_{iy})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle d}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \alpha =\{d,c\}}$

${\displaystyle f_{tps}(z,\alpha)=f_{tps}(z,d,c)=z\cdot d+\phi (z)\cdot c=z\cdot d+\sum _{i=1}^{K}\phi _{i}(z)c_{i}}$

ここで、d はアフィン変換を表す行列（したがってベクトル）であり、c は非アフィン変形を表すワーピング係数行列です。カーネル関数は各点のベクトルで、各エントリは です。TPS の場合、制御点はワープされる点の集合と同じになるように選択されるため、制御点の代わりに既に を使用していることに注意してください。 ${\displaystyle (D+1)\times (D+1)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1\times (D+1)}$${\displaystyle K\times (D+1)}$${\displaystyle \phi (z)}$${\displaystyle 1\times K}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \phi _{i}(z)=\|z-x_{i}\|^{2}\log \|z-x_{i}\|}$${\displaystyle \{c_{i}\}}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$${\displaystyle \{x_{i}\}}$

解を に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle E_{tps}}$

${\displaystyle E_{tps}(d,c)=\|Y-Xd-\Phi c\|^{2}+\lambda c^{T}\Phi c}$

ここで、 および は点の座標および を連結したものであり、は から形成された行列です。新しく形成された各行列の各行は、元のベクトルの 1 つから取得されます。 行列はTPS カーネルを表します。大まかに言えば、TPS カーネルには点集合の内部構造関係に関する情報が含まれています。これをワーピング係数 と組み合わせると、非剛体ワーピングが生成されます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle (K\times K)}$${\displaystyle \phi (\|x_{i}-x_{j}\|)}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle c}$

TPS の優れた特性は、常にグローバル アフィン コンポーネントとローカル非アフィン コンポーネントに分解できることです。その結果、TPS の滑らかさの項は非アフィン コンポーネントにのみ依存します。これは、アフィン変換に含まれるグローバル ポーズ パラメータがペナルティを受けないため、特に他のスプラインと比較すると望ましい特性です。

TPSは、画像の位置合わせや形状マッチングにおける非剛体変換モデルとして広く使用されています。^[6] その他の用途としては、考古学的発見物の3Dでの分析と比較があります。 ^[7] GigaMeshソフトウェアフレームワークの三角形メッシュ用に実装されています。^[8]

薄板スプラインには、その人気に貢献するいくつかの特性があります。

1. 無限に微分可能な滑らかな表面を生成します。
2. 手動で調整する必要があるフリーパラメータはありません。
3. ワーピングとパラメータ推定の両方に対して閉じた形式のソリューションを備えています。
4. そのエネルギー機能については物理的な説明があります。

ただし、1 次元のスプラインは深刻な「オーバーシュート」を引き起こす可能性があることに注意してください。2D では、TPS が客観的ではないため、このような影響はさらに重大になる可能性があります。^{[引用が必要]}

• 弾性マップ（多様体学習のための薄板近似の離散バージョン）
• 逆距離重み付け
• 多調和スプライン（薄板スプラインは多調和スプラインの特殊なケースです）
• ラジアル基底関数
• スムージングスプライン
• スプライン
• サブディビジョン サーフェス(スプライン ベースのサーフェスの新たな代替手段)

• 単純化された変分問題の説明
• MathWorld での TPS
• C++ での TPS
• テンプレート化された C++ での TPS
• TPS インタラクティブ モーフィング デモ
• R の TPS
• JS での TPS