集積回路の熱シミュレーション

部品の小型化は、製造コストを削減し、企業がより小型のコンピュータやその他のデバイスを製造できるようにするため、半導体業界において常に主要な目標となってきました。しかし、小型化によって単位面積あたりの消費電力が増加し、集積回路のパフォーマンスを制限する主要な要因となっています。温度上昇は、比較的断面積の小さいワイヤに関係し、通常の半導体動作に影響を与える可能性があります。さらに、熱の発生はスイッチング回路の動作周波数に比例するため、高速コンピュータは低速コンピュータよりも熱の発生が大きく、これはチップメーカーにとって望ましくない影響です。この記事では、集積回路における熱の発生と伝導を説明する物理的概念を要約し、マクロ的な観点から熱伝達をモデル化する数値的手法を紹介します。

マクロレベルでは、フーリエの法則は単位時間あたり単位面積あたりの伝達熱と温度勾配の関係を規定します。

${\displaystyle q=-\kappa \nabla T}$

ここで熱伝導率[W·m ⁻¹ K ⁻¹ ]です。 ${\displaystyle \kappa}$

電子システムは電流と電圧の信号に基づいて動作します。電流は材料を通る荷電粒子の流れであり、これらの粒子（電子または正孔）は結晶の格子と相互作用してエネルギーを失い、熱の形で放出されます。ジュール熱は集積回路における熱発生の主なメカニズムであり^[1]、ほとんどの場合望ましくない効果です。オーム材料の場合、次の形式になります。

${\displaystyle Q=j^{2}\rho }$

ここで、は電流密度[A·m ⁻² ]、は比電気抵抗[ ·m]、 は単位体積あたりの発熱量[W·m ⁻³ ]です。^[1]${\displaystyle j}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle {\Omega}}$${\displaystyle Q}$

熱伝達問題の物理学の支配方程式は、空間における熱の流束、時間における熱の変化、および電力の生成を次の式で関連付けます。

${\displaystyle \nabla \left(\kappa \left(T\right)\nabla T\right)+g=\rho C{\frac {\partial T}{\partial t}}}$

ここで、は熱伝導率、は媒体の密度、は比熱、は熱拡散率、 は単位体積あたりの熱発生率です。熱は上記の式に従って発生源から拡散し、均質媒体内の解はガウス分布に従います。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}}$${\displaystyle g}$

の温度依存性を取り除くために、キルヒホッフ変換を実行することができる^[2]${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle \theta =T_{s}+{\frac {1}{\kappa _{s}}}\int _{T_{s}}^{T}\kappa (T)dT}$

ここで、はヒートシンクの温度です。この変換を適用すると、熱方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \kappa _{s}=\kappa \left(T_{s}\right)}$${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle \alpha \nabla ^{2}\theta +{\frac {\alpha }{\kappa _{s}}}g={\frac {\partial \theta }{\partial t}}}$

ここで拡散係数^[2]と呼ばれ、温度にも依存します。方程式を完全に線形化するために、2番目の変換が使用されます。 ${\displaystyle \alpha ={\frac {\kappa }{\rho C}}}$

${\displaystyle \alpha _{s}\tau =\int _{0}^{t}\alpha (\theta )dt}$

次の式が得られます。

${\displaystyle \nabla^{2}\theta -{\frac {1}{\alpha _{s}}}{\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}=-{\frac {g}{\kappa _{s}}}}$

この方程式を単純に直接適用するには近似が必要です。変換されたラプラシアンで発生する追加項は削除され、ラプラシアンは従来の形式のままになります。^[2]

解析解は特定の単純なケースでしか得られませんが、より複雑な状況に対処するための優れた洞察を提供します。通常のサブシステムの解析解を組み合わせて、複雑な構造の詳細な説明を提供することもできます。バティ教授の研究^[2]では、ラプラス領域の温度に対するフーリエ級数展開が導入され、線形化された熱方程式の解が求められています。

この手順は、単純だが重要なケース、すなわち GaAs 製の均質な立方体ダイ (L=300 um) に適用できます。目標は、上面の温度分布を見つけることです。上面は、インデックス i=1...N の小さな正方形に分割されます。そのうちの 1 つがソースと見なされます。

熱方程式にラプラス変換を適用すると次のようになります。

${\displaystyle \nabla^{2}{\bar {\Theta}}-{\frac {s}{k_{s}}}{\bar {\Theta}}=0}$

どこ${\displaystyle {\overline {\Theta }}=s\theta -\theta \left(\tau =0\right)}$

関数は、変数および変数については余弦関数で展開され、変数については双曲余弦および正弦で展開されます。次に、側壁に断熱境界条件を適用し、底部の温度（ヒートシンク温度）を固定すると、熱インピーダンス行列方程式が導出されます。 ${\displaystyle {\overline {\Theta }}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Delta \theta _{i}=\sum _{j=1}^{N}R_{TH_{ij}}(t)P_{j}(t)}$

指数は電源を考慮しますが、指数は各小領域を参照します。 ${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

導出の詳細については、バティ教授の論文^[2]を参照してください。 下の図は、寸法300μmの立方体ダイに対するこの解析方法の定常温度分布を示しています。0.3Wの定常電源が、寸法0.1L x 0.1Lの中央表面に適用されます。予想どおり、分布は境界に近づくにつれて減少し、最大値は中央にあり、ほぼ400Kに達します。

数値解析では、構造のメッシュを使用してシミュレーションを実行します。最も一般的な方法は、有限差分時間領域法 (FDTD)、有限要素法(FEM)、およびモーメント法 (MoM) です。

有限差分時間領域 (FDTD) 法は、微分方程式を数値的に解くとともに、問題によって定義された特定の境界条件を解く堅牢で人気の高い手法です。これは、空間と時間を離散化し、有限差分式を使用することで行われるため、問題の物理特性を表す偏微分方程式をコンピューター プログラムで数値的に解くことができます。

FEM は、微分方程式と境界条件によって記述される工学的および数学的問題を解くために用いられる数値スキームでもあります。空間をより小さな要素に離散化し、そのノードまたはエッジに基底関数を割り当てます。基底関数は線形または高次の多項式です。問題の微分方程式と境界条件を基底関数に適用すると、リッツ法またはガラーキン法を使用して方程式系が作成されます。最後に、直接法または反復法を使用して線形方程式系を解きます。^[3]熱の場合、熱特性の非線形性のため、FEM 法の方が適しています。

前の例は数値法で解くことができます。この場合、立方体は長方形の要素に分割できます。その基底関数は一次近似 (線形) として選択できます。

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\xi \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=1,4}$

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\eta \left(1\mp \zeta \right),\qquad i=2,5}$

${\displaystyle N_{i}^{e}={\frac {1}{2}}\left(1-\xi -\eta \right)\left(1\mp \zeta \right),\qquad i=3,6}$

ここで。の場合、。 ${\displaystyle \zeta =2(z-z_{c})/h_{z}}$${\displaystyle z_{c}=0}$${\displaystyle \zeta =2z/h_{z}}$

この基底関数を使用し、熱伝達方程式にガラーキン法を適用すると、行列方程式が得られます。

${\displaystyle \left[S\right]\left\{\theta \right\}+\left[R\right]{\frac {d}{dt}}\left\{\theta \right\}=\left\{B\right\}}$

どこ、

${\displaystyle R_{ij}=\int _{v}N_{j}N_{i}dV}$

${\displaystyle S_{ij}=k\int _{v}\nabla N_{j}.\nabla N_{i}dV}$

${\displaystyle B_{i}={\frac {k}{\kappa _{s}}}\int _{\Omega _{1}}N_{i}p(x,y)d\Omega +{\ frac {k}{\kappa _{s}}}\int _{v}N_{i}gdV-kT_{o}\sum _{j=0}^{N_{D}}\int _{v}\nabla N_{j}^{D}.\nabla N_{i}dV}$。

この式は、簡単な FEM コードを使用して評価できます。詳細については、^[3]を参照してください。下の図は、数値解析の場合の温度分布を示しています。この解は解析の場合と非常によく一致しており、そのピークも中心で 390 K に達します。分布の滑らかさが明らかに欠けているのは、基底関数の 1 次近似によるもので、より高次の基底関数を使用することで解決できます。また、構造のメッシュをより密にすることで、より良い結果が得られる可能性がありますが、非常に密なメッシュでは計算時間が大幅に増加し、シミュレーションは実用的ではありません。

次の図は、両方の方法における時間の関数としてのピーク温度の比較を示しています。システムはおよそ で定常状態に達します。 ${\displaystyle 1ms}$

FEMやFDMなどの数値計算法では、前節で示したように行列方程式が導出されます。この方程式をより高速に解くために、モデル次数削減と呼ばれる手法を使用して、より低次の近似値を求めることができます。この手法は、高次元の状態ベクトルが低次元の部分空間に属するという事実に基づいています[1]。

下の図は、MOR 近似の概念を示しています。行列 V を見つけると、システムの次元を削減して、簡略化されたシステムを解くことができます。

したがって、元の方程式は次のようになります。

${\displaystyle C\left\{x\right\}'+K\left\{x\right\}=F\left\{u\right\}}$

次のように変わります:

${\displaystyle V^{T}CV\left\{z\right\}'+V^{T}KV\left\{z\right\}=V^{T}F\left\{u\right\}}$

その次数は元のものよりはるかに低いため、計算コストが大幅に削減されます。解が得られたら、V との積を取ることで元のベクトルが求められます。

熱の発生は主にジュール熱によって生じ、この望ましくない効果により集積回路の性能が制限されています。この記事では熱伝導について説明し、熱伝達問題を解決するための解析的および数値的手法を紹介しました。これらの方法を使用して、立方体ダイの定常温度分布と、時間の関数としてのピーク温度を計算しました。立方体ダイの上部にある単一の表面ソースに適用された(または) の入力電力に対して、100 K のオーダーの温度のピーク増分が計算されました。このような温度上昇は、周囲の半導体デバイスの動作に影響を及ぼす可能性があります。移動度などの重要なパラメータが大幅に変化します。そのため、熱放散は重要な問題であり、回路設計で考慮する必要があります。 ${\displaystyle 0.3W}$${\displaystyle 3.333e8W/m_{2}}$

• 集積回路における発熱