タルスキのプランク問題

数学において、タルスキの板問題とは、 n次元ユークリッド空間の凸領域を「板」、すなわち2つの超平面の間の領域で覆う問題である。アルフレッド・タルスキは、板の幅の合計が凸領域の最小幅以上でなければならないかどうかを問うた。この問題は、トーゲル・バン（1950、1951）によって肯定的に答えられた。^[1]

R ⁿ内の凸体 Cと超平面Hが与えられたとき、 Hに平行なCの幅w ( C , H ) は、 Hに平行なCの2 つの支持超平面間の距離です。このような最小の距離 (つまり、すべての可能な超平面上の最小値) は、Cの最小幅w ( C )と呼ばれます。

R ⁿ内の 2 つの異なる平行な超平面間の点Pの（閉じた）集合は板と呼ばれ、2 つの超平面間の距離は板の幅w ( P ) と呼ばれます。タルスキは、最小幅w ( C ) の凸体C が板の集合で覆われている場合、それらの板の幅の合計は少なくともw ( C ) でなければならないと予想しました。つまり、P ₁ ,…, P _mが板であり、

${\displaystyle C\subseteq P_{1}\cup \ldots \cup P_{m}\subset \mathbb {R} ^{n},}$

それから

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}w(P_{i})\geq w(C).}$

バンはこれが事実であることを証明した。

この問題、特に平行超平面間の点集合の問題の名前は、R ^{2における問題の視覚化に由来しています。ここでは、超平面は単なる直線であるため、板は 2 本の平行線の間の空間になります。したがって、板は (無限に長い)}木の板と考えることができ、最小幅wの凸型テーブルトップを完全に覆うには何枚の板が必要かという疑問が生じます。バンの定理によれば、たとえば、直径dフィートの円形テーブルは、幅がそれぞれ 1 フィートの木の板 d枚未満では覆うことができません。

• Bang、Thøger (1950)、「平行ストリップによるカバーについて」、Mat.ティツクル。 B. : 49–53、MR  0038085
• Bang、Thøger (1951)、「「プランク問題」の解決策」、Proc.アメル。数学。社会、2 (6): 990–993、土井:10.2307/2031721、JSTOR  2031721、MR  0046672