Sz.-Nagyの膨張定理

セージ＝ナジの拡大定理（セージファルヴィ＝ナジ・ベーラによって証明された）は、ヒルベルト空間上のすべての縮小は、 を含むヒルベルト空間へのユニタリ拡大を持ち、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle T^{n}=P_{H}U^{n}\vert _{H},\quad n\geq 0,}$

ここで、 はから への射影です。さらに、 の線形スパンがKにおいて稠密であるという意味でKが最小であると仮定すると、このような拡大は一意です (ユニタリ同値性を除く) 。この最小条件が成り立つ場合、U はTの最小ユニタリ拡大と呼ばれます。 ${\displaystyle P_{H}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \bigcup \nolimits _{n\in \mathbb {N} }\,U^{n}H}$

縮約 T (すなわち、 ( ) )の場合、その欠陥演算子D _{T は}(唯一の) 正の平方根D _T = ( I - T*T ) ^{½として定義されます。} Sが等長変換である特別なケースでは、D _{S* は}射影子であり、D _S =0であるため、以下は必要な多項式関数計算特性を持つ Sの Sz. Nagy ユニタリ拡大です。${\displaystyle \|T\|\leq 1}$

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}S&D_{S^{*}}\\D_{S}&-S^{*}\end{bmatrix}}.}$

収縮Tの一般的なケースに戻ると、ヒルベルト空間H上のすべての収縮T は、やはり微積分の性質を持つ等長膨張を持ち、

${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}H}$

与えられた

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}T&0&0&\cdots &\\D_{T}&0&0&&\\0&I&0&\ddots \\0&0&I&\ddots \\\vdots &&\ddots &\ddots \end{bmatrix}}.}$

このようにして構築されたS を、等長変換Sに対する前述の Sz.-Nagy ユニタリ拡大に代入すると、収縮Tに対するユニタリ拡大が得られます。

${\displaystyle T^{n}=P_{H}S^{n}\vert _{H}=P_{H}(Q_{H'}U\vert _{H'})^{n}\vert _{H}=P_{H}U^{n}\vert _{H}.}$

ユニタリ Sz. Nagy 拡大のSchaffer形式は、与えられた収縮に対して、必要な特性を持つすべてのユニタリ拡大の特徴付けの出発点として考えることができます。

この定理の一般化は、バーガー、フォイアス、レボウによって、XがTのスペクトル集合であり、

${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$

がディリクレ代数である場合、T は上記の形式の最小の正規δX膨張を持ちます。この結果として、単連結なスペクトル集合Xを持つ任意の演算子は最小の正規δX膨張を持ちます。

これが Sz.-Nagy の定理を一般化するものであることを確認するには、縮約演算子が単位円D をスペクトル集合として持ち、単位円δ D内にスペクトルを持つ正規演算子がユニタリであることに留意してください。

• Paulsen, V. (2003).完全有界写像と作用素代数. ケンブリッジ大学出版局.
• Schaffer, JJ (1955)。 「収縮のユニタリ膨張について」。アメリカ数学会紀要。6 (2): 322。doi :10.2307/2032368。JSTOR  2032368。