完全妨害理論

代数幾何学では、ドリーニュ・マンフォードスタック Xが与えられた場合、Xの完全障害理論は次で構成されます。

1. X上の準連接エタール層の導来圏における完全な2項複体、および${\displaystyle E=[E^{-1}\to E^{0}]}$ ${\displaystyle D({\text{Qcoh}}(X)_{et})}$
2. 射（ はXのコタンジェント複素数）は 上の同型と 上のエピモーフィズムを誘導します。${\displaystyle \varphi \colon E\to {\textbf {L}}_{X}}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$${\displaystyle h^{0}}$${\displaystyle h^{-1}}$

この概念は 、モジュライスタック上の交差理論への応用、特に仮想基本クラスを定義するために、 Kai BehrendとBarbara Fantechi (1997) によって導入されました。

直交座標の正方形にフィットする 正規の埋め込み を考える${\displaystyle I\colon Y\to W}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {j}}&V\\g\downarrow &&\downarrow f\\Y&{\xrightarrow {i}}&W\end{matrix}}}$

滑らかなところ。そして複雑な ${\displaystyle V,W}$

${\displaystyle E^{\bullet }=[g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to j^{*}\Omega _{V}]}$(度)${\displaystyle -1,0}$

Xの完全妨害理論を形成する。^[1]この写像は、

${\displaystyle g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to g^{*}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\to j^{*}\Omega _{V}}$

これは完全な妨害理論である。なぜなら、この複体は写像と写像から来る写像を備えているからである。関連する仮想基本クラスは${\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle g^{*}\mathbf {L} _{Y}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}$${\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[V]}$

滑らかな射影多様体 を考える。 とすると、 における完全障害理論は ${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle D^{[-1,0]}(X)}$

${\displaystyle [N_{X/\mathbb {P} ^{n}}^{\vee }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}]}$

そして関連する仮想基本クラスは

${\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[\mathbb {P} ^{n}]}$

特に、 が滑らかな局所完全交差である場合、完全妨害理論はコタンジェント複体（切断コタンジェント複体と同じ）になります。 ${\displaystyle Y}$

前述の構成は、Deligne–Mumford スタックでも機能します。

定義により、対称障害理論は、非退化対称双線形形式を伴う完全障害理論です。

例: f を滑らかな多様体 (またはスタック) 上の正規関数とします。すると、 fの臨界点の集合は標準的な方法で対称障害理論を運びます。

例: M を複素シンプレクティック多様体とします。すると、 Mのラグランジアン部分多様体の (スキーム理論的) 交差は、標準的な対称障害理論を運びます。

• Behrend, Kai (2005). 「ミクロ局所幾何学によるドナルドソン-トーマス不変量」. arXiv : math/0507523v2 .
• Behrend, カイ州;ファンテキ、バーバラ(1997-03-01)。 「固有の法線円錐」。数学の発明。128 (1): 45–88。arXiv : alg-geom/9601010。Bibcode :1997InMat.128...45B。土井：10.1007/s002220050136。ISSN  0020-9910。S2CID  18533009。
• Oesinghaus, Jakob (2015-07-20). 「対称的障害理論の障害円錐を理解する」. MathOverflow . 2017-07-19に閲覧。

• ベーレンド関数
• グロモフ・ウィッテン不変量