シンボリック回路解析

記号回路解析は、独立変数（時間または周波数）、従属変数（電圧と電流）、および記号で表される回路要素（一部またはすべて）を使用して、電気/電子回路の動作または特性を計算する回路解析の正式な手法です。^[1]^[2]

電気/電子回路を解析する場合、2 種類の質問をすることがあります。特定の回路変数 (電圧、電流、抵抗、ゲインなど) の値は何か、またはいくつかの回路変数間または回路変数と回路コンポーネントと周波数 (または時間) の関係は何か、です。このような関係はグラフの形を取ることがあり、回路変数の数値が周波数またはコンポーネント値に対してプロットされます (最も一般的な例は、伝達関数の大きさと周波数のプロットです)。

シンボリック回路解析は、複素周波数（または時間）と回路コンポーネントの一部またはすべてがシンボルで表された、シンボリック形式、つまり解析式の形式でこれらの関係を取得することに関係しています。

周波数領域表現

周波数領域におけるシンボリック回路解析の最も一般的なタスクは、複素周波数とシンボリック変数における有理関数の形で入力変数と出力変数の関係を取得することです。 ${\mathit {s}}\,$ $\mathbf {x}$

T(s,\mathbf {x} )={\frac {N(s,\mathbf {x} )}{D(s,\mathbf {x} )}}

上記の関係は、ネットワーク関数と呼ばれることがよくあります。物理システムの場合、およびは実係数を持つ多項式です。 $N(s,\mathbf {x} )$ $D(s,\mathbf {x} )$ ${\mathit {s}}\,$

T(s,\mathbf {x} )={\frac {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}b_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}}=K{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(s-z_{i}(\mathbf {x} ))}{\displaystyle \prod _{i=1}^{m}(s-p_{i}(\mathbf {x} ))}}

ここで、はゼロであり、はネットワーク関数の極です。 $z_{i}(\mathbf {x} )$ $p_{i}(\mathbf {x} )$ $m\geqslant n$

係数とを生成する方法はいくつかありますが、5 以上の次数の多項式の極と零点の正確な記号表現を取得する手法は存在しません。 $a_{i}(\mathbf {x} )$ $b_{i}(\mathbf {x} )$

シンボリックネットワーク関数の種類

どのパラメータをシンボルとして保持するかによって、複数の異なるタイプのシンボリックネットワーク関数が存在する場合があります。これは、例で説明するのが最もわかりやすいでしょう。たとえば、以下に示す理想的なオペアンプを使用したバイクワッドフィルタ回路を考えてみましょう。周波数領域における電圧透過率 (電圧ゲインとも呼ばれる) の式を取得したいと考えています。 ${T_{v}(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)}\,$

図 1: 理想的なオペアンプを使用したバイクワッド回路。(この図は、SapWinの回路図キャプチャ機能を使用して作成されました。)

ネットワーク機能付きs唯一の変数として

複素周波数が唯一の変数である場合、式は次のようになります (簡単にするために数値を使用します)。 ${\mathit {s}}\,$ $R_{i}=i,C_{i}=0.01i\,$

T(s)={\frac {3.48s}{13.2s^{2}+1.32s+0.33}}

半シンボリックネットワーク関数

複素周波数といくつかの回路変数が記号として保持される場合（半記号解析）、式は次の形式になります。 ${\mathit {s}}\,$

${\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {1.74C_{2}s}{6.6C_{1}C_{2}s^{2}+0.66C_{2}s+0.33}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}]\end{aligned}}$

完全にシンボリックなネットワーク機能

複素周波数とすべての回路変数が記号的である場合（完全な記号解析）、電圧透過率は次のように表されます（ここでは）。 ${\mathit {s}}\,$ $G_{i}=1/R_{i}\,$

${\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {G_{4}G_{6}G_{8}C_{2}s}{G_{6}G_{11}C_{1}C_{2}s^{2}+G_{1}G_{6}G_{11}C_{2}s+G_{2}G_{3}G_{5}G_{11}}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}~G_{1}~G_{2}~G_{3}~G_{4}~G_{5}~G_{6}~G_{8}~G_{11}]\end{aligned}}$

上記のすべての式は、回路の動作を理解し、各コンポーネントが回路全体のパフォーマンスにどのように貢献しているかを理解するのに非常に役立ちます。ただし、回路のサイズが大きくなると、このような式の項の数は指数関数的に増加します。そのため、比較的単純な回路であっても、式は長くなりすぎて実用的な価値がなくなります。この問題に対処する方法の 1 つは、数値的に重要でない項を記号式から省略し、避けられない誤差を所定の制限以下に抑えることです。^[3]

表現のシーケンス形式

記号表現を扱いやすい長さに短縮する別の可能性は、ネットワーク関数を表現のシーケンス（SoE）で表すことです。^[4]もちろん、式の解釈可能性は失われますが、このアプローチは反復的な数値計算に非常に便利です。ソフトウェアパッケージSTAINS（Symbolic Two-port Analysis via Internal Node Suppression）は、このようなシーケンスを生成するために開発されました。^[5] STAINSから取得できるSoEにはいくつかの種類があります。たとえば、私たちのバイクワッドのコンパクトなSoEは次のとおりです。 $T_{v}(s)\,$

x1 = G5*G3/G6
x2 = -G1-s*C1-G2*x1/(s*C2)
x3 = -G4*G8/x2
Ts = x3/G11

上記のシーケンスには分数が含まれています。これが望ましくない場合 (たとえば、ゼロによる除算が出現する場合)、分数のない SoE を生成することができます。

x1 = -G2*G5
x2 = G6*s*C2
x3 = -G4*x2
x4 = x1*G3-(G1+s*C1)*x2
x5 = x3*G8
x6 = -G11*x4
Ts = -x5/x6

式を短縮するさらに別の方法は、多項式とを因数分解することです。この例では、これは非常に簡単で、次のようになります。 $N(s,\mathbf {x} )$ $D(s,\mathbf {x} )$

数字 = G4*G6*G8*s*C2
Den = G11*((G1+s*C1)*G6*s*C2+G2*G3*G5)
Ts = 数/密度

しかし、より大きな回路の場合、因数分解は難しい組み合わせ問題となり、最終結果は解釈と数値計算の両方にとって実用的でない可能性があります。

参照

外部リンク

SCAM -シンボリック回路伝達関数を計算するためのMATLABスクリプト。
Wolfram System Modeller を使用してシンボリック回路解析を行う方法。

参考文献

^ G. Gielen および W. Sansen、「アナログ集積回路の自動設計のための記号解析」、ボストン: Kluwer Academic Publishers、1991 年。
^ Labrèche P.、プレゼンテーション：線形電気回路：シンボリックネットワーク解析、1977
^ B. Rodanski、M. Hassoun、「シンボリック解析」、回路とフィルタハンドブック: 回路とフィルタの基礎、第 3 版、Wai-Kai Chen 編、CRC Press、2009 年、25-1 - 25-29 ページ。
^ M. Pierzchala、B. Rodanski、「2 ポートへの回路縮小による大規模ネットワークの順次シンボリックネットワーク関数の生成」、IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications、第 48 巻、第 7 号、2001 年 7 月、906-909 ページ。
^ LP Huelsman、「STAINS - 内部ノード抑制によるシンボリック 2 ポート解析」、IEEE Circuits & Devices Magazine、2002 年 3 月、3-6 ページ。

[1] G. Gielen および W. Sansen、「アナログ集積回路の自動設計のための記号解析」、ボストン: Kluwer Academic Publishers、1991 年。

[2] Labrèche P.、プレゼンテーション：線形電気回路：シンボリックネットワーク解析、1977

[3] B. Rodanski、M. Hassoun、「シンボリック解析」、回路とフィルタハンドブック: 回路とフィルタの基礎、第 3 版、Wai-Kai Chen 編、CRC Press、2009 年、25-1 - 25-29 ページ。

[4] M. Pierzchala、B. Rodanski、「2 ポートへの回路縮小による大規模ネットワークの順次シンボリックネットワーク関数の生成」、IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications、第 48 巻、第 7 号、2001 年 7 月、906-909 ページ。

[5] LP Huelsman、「STAINS - 内部ノード抑制によるシンボリック 2 ポート解析」、IEEE Circuits & Devices Magazine、2002 年 3 月、3-6 ページ。