ワインスタイン＝アロンシャインのアイデンティティ

数学において、ワインシュタイン・アロンシャイン恒等 式は、もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$はそれぞれm × nおよびn × mサイズの行列である（どちらか一方または両方が無限行列である場合もある）場合、${\displaystyle AB}$（したがって、${\displaystyle BA}$) はトレースクラスです。

${\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),}$

どこ${\displaystyle I_{k}}$はk × k の単位行列です。

これは行列式補題とその一般化と密接に関連している。行列の逆行列に関するウッドベリー行列恒等式の行列式版である。

この恒等式は次のように証明できる。^{[ 1 ]} としよう${\displaystyle M}$4つのブロックからなる行列である${\displaystyle I_{m}}$、${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$そして${\displaystyle I_{n}}$:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}.}$

I _mは可逆であるため、ブロック行列の行列式の公式は次のようになります。

${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}A)=\det(I_{n}-BA).}$

I _nは可逆であるため、ブロック行列の行列式の公式は次のようになります。

${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}I_{m}&A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-AI_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}-AB).}$

したがって

${\displaystyle \det(I_{n}-BA)=\det(I_{m}-AB)。}$

代入${\displaystyle -A}$のために${\displaystyle A}$そして、ワインスタイン＝アロンシャイン恒等式を与える。

させて$\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$この恒等式は、より一般的な次の命題を示すために使用できます。

${\displaystyle \det(AB-\lambda I_{m})=(-\lambda )^{mn}\det(BA-\lambda I_{n}).}$

したがって、非ゼロの固有値は${\displaystyle AB}$そして${\displaystyle BA}$同じです。

この恒等式は、多変量ガウス分布のベイズ推定量を開発する際に役立ちます。

この恒等式は、大きな行列の行列式と小さな行列の行列式を関連付けることで、ランダム行列理論にも応用されている。 ^{[ 2 ]}