表面波反転

地震逆解析には、地震学者が物理的測定を通じて特性を推測するために使用する一連の方法が含まれます。 ^[1] 表面波逆解析は、表面波分散の分析を通じて地下の層の弾性特性、密度、厚さを取得する方法です。^[2] 逆解析プロセス全体では、地震データの収集、分散曲線の作成、そして最終的に地下特性の推測が必要です。

表面波は、地球の表面を空気と地球の境界に沿って伝わる地震波です。^{[3]表面波は、} P波（圧縮波）やS波（横波） よりも遅いです。表面波は、レイリー波とラブ波という2つの基本的なタイプに分類されます。レイリー波は、粒子が逆行楕円運動をしながら縦方向（波動の伝播方向と平行）に伝わります（図1）。レイリー波は、P波と垂直偏波のS波の相互作用によって生じます。^[2] 逆に、ラブ波は横方向（波動の伝播方向と垂直）に伝わり（図1）、水平偏波のS波で構成されます。地震学では、表面波は他の地震データと共に収集されますが、従来はノイズであり、より深い反射や屈折の情報を解釈する際の障害であると考えられてきました。地震学者は通常、地震装置や実験手順を変更して、データから表面波情報を除去します。しかし、地震学者は地震表面波が提供する情報を必要としており、そのため、これらの波に関する情報をできるだけ多く増幅して収集できるように機器を設計しています。表面波データから実質的な情報を抽出する初期の地震学者の研究は、表面波逆解析理論の基礎となりました。^[3]

地表波が地下の弾性特性を決定する上で有用である理由は、その分散の仕方にあります。分散 (地質学) とは、地表を伝わるときに表面波が広がる様子のことです。基本的に、10 個の波が同じ速度で地表に沿って伝わる場合、分散はありません。いくつかの波が他の波よりも速く伝わり始めると、分散が起こっています。さまざまな波長の表面波は、さまざまな深さまで浸透し (図 2)、伝わる媒体の速度で伝わります。図 2 は、深さに対して表面波の振幅をプロットしたものです。これは、2 つの異なる波長について行われました。両方の波の総エネルギーは同じですが、波長が長いほど、エネルギーはより広い間隔に分散されます。地球の材料の弾性パラメータによって深さとともに速度が高くなる場合、波長の長い表面波は波長の短い表面波よりも速く伝わります。波長による速度の変化から、地下に関する重要な情報を推測することができます。 Dobrin (1951) ^{[3] は}、水の乱れの例を使って、波長が長いほど速く伝わる傾向があるという現象を説明しています。波長とともに速度が増加するという現象は、群速度と位相速度の両方で見られます。波群は、さまざまな波長と周波数の波で構成されています。波群の個々の波は通常同時に生成されますが、各ウェーブレットが異なる速度で伝わるため、グループ内で広がる傾向があります。群速度は、基本的に波群が伝わる速度です。位相速度は、独自の特性波長と周波数を持つ個々の波が伝わる速度です。 フーリエ理論によれば、鋭いインパルスは、1 つのポイントで位相が合った無限の周波数成分で構成されています。各周波数が同じ速度で伝わる場合、そのピークはそのまま残ります。各周波数が異なる速度で伝わる場合、そのピークは広がります (図 3)。この広がりが分散です。位相と群速度はどちらも波長に依存し、次の式で関連しています。

${\displaystyle V_{\mathrm {group} }=V_{\mathrm {phase} }-\lambda {\frac {\delta V_{\mathrm {phase} }}{\delta \lambda }}}$

ここで、V _groupは群速度、V _phaseは位相速度、λ は波長です。表面波逆解析を試みる場合、位相速度の分散曲線を作成する方が簡単なため、群速度よりも位相速度の方がよく使用されます。分散曲線は、速度と周波数または波長の関係をプロットしたものです。分散曲線が生成された後、表面波逆解析プロセスが実行され、地下弾性特性が計算されます。逆解析から正しい地下弾性パラメータを取得するには、分散曲線の精度が重要です。

地球の弾性特性は、弾性波の伝播に影響を与える特性です。これらの特性はラメパラメータと呼ばれ、フックの法則を通じて等方性媒体の応力と歪みを関連付けるために使用されます。密度は、圧縮波とせん断波の速度方程式を通じて弾性パラメータにも関連付けられます。

表面波情報の収集には、主に 2 つのデータ収集手法が採用されています。2 つの手法とは、表面波のスペクトル解析 (SASW) ^[4]と表面波のマルチチャネル解析 (MASW) ^[5]です。 これらの手法では、受動または能動のソースを使用します。受動ソースは単に周囲ノイズですが、能動ソースには爆発装置やハンマーで叩かれた鋼板などの従来の地震源が含まれます。全体として、受動エネルギー ソースは通常、データ収集時に能動エネルギーよりも時間がかかります。周囲ノイズは、ランダムな方向から来る場合にも役立ちます。表面波のスペクトル解析 (SASW) 手法では、スペクトル アナライザーと少なくとも 2 つのジオフォンを使用する必要があります。スペクトル アナライザーは、ジオフォンによって記録される信号の周波数と位相を調べるために使用されます。拡張スプレッド アレイは、表面波の近接場効果を最小限に抑えるのに役立ちます。オフセット距離を増やすと、波が各ジオフォンに到達する時間が長くなり、波長が長ければ分散する時間が長くなります。ショット ギャザーは、実体波の影響を最小限に抑えるように変更されています。データが収集されると、スペクトル アナライザは調査エリアの分散曲線をリアルタイムで生成できます。表面波のマルチ チャネル解析 (MASW) 技術は、地震データを取得するジオフォン スプレッドがある従来の地震取得と同様に実行できます。結果のデータは、取得された距離対時間プロットから表面波の到着をピックアップして処理されます。距離対時間プロットに基づいて、分散曲線が作成されます。

生の表面波データ（距離対時間のプロット）から分散曲線を作成するプロセスは、5 つの変換プロセスを使用して実行できます。1 つ目は波動場変換（τ-p 変換）として知られ、McMechan と Yedlin（1981）によって初めて実行されました。^[6] 2 つ目は、Yilmaz（1987）によって実行された 2 次元波動場変換（fk 変換）です。^[7] 3 つ目は、Park ら（1998）によって実行された位相シフトに基づく波動場変換です。^[8] 4 つ目は、Xia ら（2007）によって実行された、周波数分解と傾斜スタッキングに基づく修正波動場変換です。^[9] 5 つ目は、Luo ら（2008）によって実行された高解像度の線形ラドン変換です。^[10]波動場変換を実行するには、傾斜スタックが実行され、その後にフーリエ変換が実行されます。フーリエ変換が xt データを x-ω (ω は角周波数) データに変換する方法は、位相速度が表面波インバージョン理論で優位である理由を示しています。位相速度は、特定の周波数の各波の速度です。修正された波動場変換は、傾斜スタックの前に最初にフーリエ変換を実行することによって実行されます。傾斜スタッキングは、xt (x はオフセット距離、t は時間) データを時間空間に対する遅さに変換するプロセスです。線形移動 (通常の移動 (NMO)に類似) が生データに適用されます。地震プロット上の各線には、その線を水平にする移動が適用できます。距離は、遅さと時間構成ごとに積分されます。遅さの各値が xt 空間の傾斜を表し、積分によってこれらの値が遅さごとにスタックされるため、これは傾斜スタックと呼ばれます。

xt にプロットされた生の表面波データにフーリエ変換が適用されます。u(x,t) はショット全体の集合を表し、フーリエ変換の結果は U(x,ω) になります。

${\displaystyle U(x,\omega )=\int u(x,t)e^{-i\omega t}\,dt}$

U(x,ω)は逆畳み込みされ、位相と振幅で表現できます。

${\displaystyle U(x,\omega )=P(x,\omega )A(x,\omega )}$

ここで、P(x,ω)は、波の分散特性（到着時間情報を含む）を含む情報を保持する式の位相部分であり、A(x,ω)は、波の減衰および球状発散特性に関するデータを含む振幅部分です。球状発散とは、波が広がると、波のエネルギーが波形の表面全体に広がるという考え方です。P(x,ω)には分散特性情報が含まれているため、

${\displaystyle U(x,\omega )=e^{-i\Phi x}A(x,\omega )}$

ここで、Φ=ω/c _{ω 、 ω は}ラジアン単位の周波数、c _{ω は}周波数 ω に対する位相速度です。このデータを変換すると、速度が周波数の関数として得られます。

${\displaystyle V(\omega ,\Phi )=\int e^{i\Phi x}{\frac {U(x,\omega )}{|U(x,\omega )|}}\,dx}$

これにより、さまざまな位相速度で伝わるさまざまな周波数を示す分散曲線が生成されます。

表面波逆解析プロセスは、作成された分散曲線から密度、せん断波速度プロファイル、厚さなどの弾性特性を推測する行為です。逆解析を実行するために利用されてきた方法 (アルゴリズム) は多数あり、その中には次のようなものがあります。

• 多層分散計算
• 最小二乗曲線フィッティングプログラム
• ノポフ法
• 直接検索アルゴリズム
• 高周波レイリー波反転
• 屈折微動法

ハスケル (1953) ^[2]は、初めて多層分散計算を実行しました。ハスケルの研究は、現在の表面波逆解析理論の多くにおいて基礎となっています。レイリー波は P 波と S 波から構成され、ラブ波は S 波のみから構成されるため、ハスケルは P 波と S 波の両方に対する弾性波方程式を導きました。これらの方程式は、レイリー波の運動を示すように修正されました。応力やひずみが交差しない自由表面境界を仮定すると、レイリー波方程式は簡略化されます。層の厚さ、密度、および P 波と S 波の速度の形での弾性パラメータのさまざまな値を方程式に入力すると、分散曲線が得られます。パラメータは、導き出された分散曲線を実際のデータに適合するように修正できます (図 4)。

ドーマンとユーイング（1962）^[11]は、ハスケルの以前の研究に基づいたアルゴリズムを考案しました。彼らの方法は、ユーザーがパラメータを入力し、コンピュータが実験データに最も適合する正確なパラメータを見つけることができる反復技術を使用しました。

ノポフ法^[12]もハスケル方程式を使用して表面波データの逆解析を実行しますが、方程式を簡略化して計算を高速化します。速度の向上は主にプログラミングと計算における複素数の不足によって実現されます。このアルゴリズムでは、おおよその層の厚さ、圧縮速度とせん断速度、および密度値をモデルに入力する必要があります。

直接探索アルゴリズムは、データ駆動型モデルを合成分散曲線に一致させます (Wathelet ら、2004)。^[13] このアルゴリズムは、せん断波速度、圧縮波速度、密度、厚さなどのパラメータを推測して理論的な分散曲線を作成します。理論曲線が作成されると、コンピュータはこの理論曲線を実際の (実験的な) 分散曲線に一致させようとします。パラメータの値は、さまざまな順列でランダムに選択され、一致する曲線が得られるまで継続的に繰り返されます。場合によっては、アルゴリズムの実行中に、せん断速度、圧縮速度、密度、厚さの異なる値で同じ分散曲線が生成されることがあります。アルゴリズムは、各理論分散曲線を生成するときに、ミスフィット値と呼ばれる値を計算します。ミスフィット値は、生成されたモデルが真の解とどの程度一致するかを示す単なる尺度です。ミスフィットは次のように与えられます。

${\displaystyle ミスフィット={\sqrt {\sum _{i-\sigma }{\frac {(x_{di}-x_{ci})^{2}}{\sigma _{i}^{2}n_{F}}}}}}$

ここで、 x _{diは周波数 f i}におけるデータ曲線の速度、 x _{ciは周波数 f i}における計算曲線の速度、 σ _{i は}考慮される周波数サンプルの不確実性、 n _{F は}考慮される周波数サンプルの数です。不確実性が指定されていない場合、 σ _{i はx di}に置き換えられます。

Xia et al. (1999) ^[14]が行った高周波レイリー波逆解析では、ノップフ法を用いて地球を分析した。分散曲線の作成に使用したさまざまな特性を変化させることで、さまざまな地球特性が位相速度に大幅に異なる影響を及ぼすことがわかった。S 波速度入力を変更すると、高周波 (5 Hz 以上) でのレイリー波位相速度に劇的な影響が及ぶ。S 波速度が 25% 変化すると、レイリー波速度は 39% 変化する。逆に、P 波速度と密度はレイリー波位相速度に比較的小さな影響しか与えない。密度が 25% 変化すると、表面波速度は 10% 未満しか変化しない。P 波速度の変化はさらに小さい (3%)。

最後の逆解析法である屈折微動（ReMi）法は、調査から得られた通常モード分散データをモデル化するコンピュータアルゴリズムを使用します。この方法では、通常のP波と単純な屈折取得装置を使用し、アクティブなソースを必要としないため、この名前が付けられています。Pullammanapellilら（2003）^[15]は、この方法を使用して、掘削されたROSRINEボーリングホールのS波プロファイルを正確に一致させました。ReMi法は、全体的なせん断波速度プロファイルを正確に一致させましたが、せん断速度の井戸ログによって提供される詳細とは一致しませんでした。全体的な詳細の不一致は、地下の評価には影響しません。

表面波を使用して地下を画像化する利点は数多くあります。まず、表面波逆解析では低速度域を容易に画像化できます。屈折法では低速度域を見ることができません。そのような域では、横断波が表面に向かうのではなく、より深くに曲がってしまうからです。表面波逆解析は非侵襲的であり、費用対効果も優れています。この方法にも欠点がいくつかあります。表面波逆解析法の解像度は、坑井内で行われる地震波収集ほど解像度が高くありません。分散曲線の解が一意でない可能性もあります (複数のパラメータ セットで同じ分散曲線が得られる場合があります)。さらに、複数のモードが存在し、逆解析の対象モードに漏れ込む可能性があります。

表面波逆解析は、地下付近を評価する上で貴重なツールになりつつあります。地震記録で見つかった表面波は、廃棄物ではなく、地震探査調査の有用な副産物となり得ます。さらに、能動エネルギー源を使用する必要がないため、より予算に優しいです。また、屈折法では検出できない地下の低速度域を検出するのにも役立ちます。地下プロファイルのせん断速度、密度、厚さを推定するのに最も効果的です。

• 表面波のスペクトル解析
• 完全な波形反転

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