層別抽出法

統計学において、層別抽出法は、サブ母集団に分割できる母集団から標本を抽出する方法です。

統計調査では、全体の母集団内の部分母集団が異なる場合、各部分母集団 (層) を個別にサンプリングすると有利になることがあります。

層別化とは、標本抽出の前に母集団のメンバーを同質のサブグループに分けるプロセスです。層は母集団の区分を定義する必要があります。つまり、層は集合的に網羅的かつ相互に排他的である必要があります。母集団のすべての要素は、1 つの層にのみ割り当てられる必要があります。次に、各層で、たとえば単純無作為標本抽出によって標本抽出が行われます。目的は、標本誤差を減らすことで標本の精度を向上させることです。母集団の 単純無作為標本の算術平均よりも変動の少ない加重平均を生成できます。

計算統計学において、層別サンプリングはモンテカルロ法を用いて既知の母集団から母集団統計を推定する際に分散を減らす手法である。 ^[1]

ある選挙で各候補者の平均得票数を推定する必要があるとします。ある国に 3 つの町があるとします。町 A には 100 万人の工場労働者がおり、町 B には 200 万人の会社員がおり、町 C には 300 万人の退職者がいます。人口全体から 60 のランダム サンプルを取得することもできますが、結果として得られるランダム サンプルがこれらの町間でバランスが悪く偏っている可能性があり、推定に重大な誤差が生じます (関心のある結果が、関心のあるパラメータに関して、町間で異なる分布を示す場合)。代わりに、町 A、B、C からそれぞれ 10、20、30 のランダム サンプルを取得することを選択した場合、同じ合計サンプル サイズで推定の誤差を小さくすることができます。この方法は一般に、人口が均質なグループではない場合に使用されます。

1. 比例配分では、各層で、総人口に比例するサンプルの割合を使用します。たとえば、人口がn人の個人で構成され、そのうちm 人が男性でf人が女性 ( m + f = n ) の場合、2 つのサンプルの相対的なサイズ ( x ₁ = m / n男性、x ₂ = f / n女性) はこの割合を反映する必要があります。
2. 最適な割り当て(または不均衡な割り当て) - 各層のサンプリング率は、割合 (上記) と変数の分布の標準偏差の両方に比例します。全体のサンプリング分散を最小限に抑えるために、変動が最も大きい層でより大きなサンプルが採取されます。

層別抽出法の実際の使用例としては、政治調査が挙げられます。回答者が人口の多様性を反映する必要がある場合、研究者は、前述のように人口全体に対する割合に基づいて、人種や宗教などのさまざまな少数派グループの参加者を具体的に含めるよう努めます。したがって、層別調査は、単純無作為抽出法や系統的抽出法の調査よりも、人口をよりよく代表していると主張できます。層別サンプル サイズを使用すると、平均と分散の両方で不均衡なサンプリング コストを補正できます。

単純無作為抽出法ではなく層別抽出法を使用する理由としては、 ^[2]

1. 層内の測定値の標準偏差が（母集団全体の標準偏差と比較して）低い場合、層別化によって推定の誤差は小さくなります。
2. 多くのアプリケーションでは、集団を層にグループ化すると、測定がより管理しやすくなり、コストも安くなります。
3. 母集団内のグループの母集団パラメータの推定値を取得することが望ましい場合、層別サンプリングにより、関心のある層から十分なサンプルがあるかどうかを確認します。

地域内で人口密度が大きく異なる場合、層別抽出法を採用すると、その地域のさまざまな場所で同等の精度で推定値が得られ、また、サブ地域の比較を同等の統計的検出力で行うことができます。たとえば、オンタリオ州では、州全体で実施される調査では、人口の少ない北部でより大きな抽出率を使用する場合があります。これは、北部と南部の人口格差が非常に大きいため、州全体のサンプルに基づく抽出率では、北部から収集されるデータがほんのわずかになる可能性があるためです。

サブグループのサンプル サイズをサブグループから得られるデータの量に比例させるのは、サンプル サイズをサブグループ サイズ (または、F 検定などを使用して有意に異なることがわかっている場合は、その分散) に比例させるのではなく、この手法の誤った適用になります。各サブグループを表すデータは、それらの間での変動が疑われるために層別サンプリングが必要である場合、同等の重要性があるとみなされます。サブグループの分散が大きく異なり、データを分散によって層別化する必要がある場合、各サブグループのサンプル サイズを全母集団内のサブグループ サイズに同時に比例させることは不可能です。平均、分散、およびコストが異なるグループ間でサンプリング リソースを分割する効率的な方法については、「最適な割り当て」を参照してください。クラス事前分布 (全母集団におけるサブ母集団の比率) が不明な場合の層別サンプリングの問題は、データセットの分析 (分類など) のパフォーマンスに悪影響を及ぼす可能性があります。^[3]その点で、ミニマックスサンプリング比は、基礎となるデータ生成プロセスの不確実性に関してデータセットを堅牢にするために使用することができます。^[3]

十分な数を確保するために下層を結合すると、シンプソンのパラドックスが発生する可能性があります。これは、異なるデータ グループに存在する傾向が、グループを結合すると消えたり、逆転したりする可能性があることを意味します。

層別ランダムサンプリングの平均と分散は次のように与えられる: ^[2]

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{h=1}^{L}N_{h}{\bar {x}}_{h}}$

${\displaystyle s_{\bar {x}}^{2}=\sum _{h=1}^{L}\left({\frac {N_{h}}{N}}\right)^{2}\left({\frac {N_{h}-n_{h}}{N_{h}-1}}\right){\frac {s_{h}^{2}}{n_{h}}}}$

どこ

${\displaystyle L={}}$地層の数

${\displaystyle N={}}$すべての層のサイズの合計

${\displaystyle N_{h}={}}$地層の大きさ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\bar {x}}_{h}={}}$層のサンプル平均${\displaystyle h}$

${\displaystyle n_{h}={}}$層内の観測数${\displaystyle h}$

${\displaystyle s_{h}={}}$層の標本標準偏差${\displaystyle h}$

項 はに等しく、有限母集団補正であり、「サンプル単位」で表現する必要があることに注意してください。有限母集団補正を行わない場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle (N_{h}-n_{h})/(N_{h}-1)}$${\displaystyle 1-{\frac {n_{h}-1}{N_{h}-1}}}$${\displaystyle N_{h}}$

${\displaystyle s_{\bar {x}}^{2}=\sum _{h=1}^{L}\left({\frac {N_{h}}{N}}\right)^{2}{\frac {s_{h}^{2}}{n_{h}}}}$

ここで、 は層の人口重みです。 ${\displaystyle w_{h}=N_{h}/N}$${\displaystyle h}$

比例配分戦略では、各層のサンプルサイズは層のサイズに比例して取られます。ある企業に次のようなスタッフがいると仮定します。^[4]

• 男性、フルタイム：90
• 男性、パートタイム：18
• 女性、フルタイム：9
• 女性、パートタイム：63
• 合計: 180

そして、上記のカテゴリーに従って層別化された 40 人のスタッフのサンプルを採取するよう求められます。

最初のステップは、各グループの合計に対する割合を計算することです。

• 男性（フルタイム）の割合 = 90 ÷ 180 = 50%
• 男性（パートタイム）の割合 = 18 ÷ 180 = 10%
• フルタイムの女性の割合 = 9 ÷ 180 = 5%
• 女性（パートタイム）の割合 = 63 ÷ 180 = 35%

これは、40人のサンプルのうち、

• 50% (20 名) は男性で、フルタイムで働く必要があります。
• 10%（4名）は男性で、パートタイム勤務者である必要があります。
• 5%（2名）はフルタイムで働く女性である必要があります。
• 35%（14名）は女性で、パートタイムで働く必要があります。

パーセンテージを計算しない別の簡単な方法は、各グループのサイズにサンプル サイズを掛け、それを総人口サイズ (スタッフ全体のサイズ) で割ることです。

• 男性、フルタイム = 90 × (40 ÷ 180) = 20
• 男性、パートタイム = 18 × (40 ÷ 180) = 4
• 女性、フルタイム = 9 × (40 ÷ 180) = 2
• 女性、パートタイム = 63 × (40 ÷ 180) = 14

• 世論調査
• 多段階サンプリング
• 統計的ベンチマーク
• 層別サンプルサイズ
• 層別化（臨床試験）

いいえ

• Särndal, Carl-Erik; et al. (2003). 「層別サンプリング」。モデル支援調査サンプリング。ニューヨーク: Springer。pp. 100–109。ISBN 0-387-40620-4。