確率ベクトル

数学や統計学において、確率ベクトルまたは確率的ベクトルとは、非負の要素を持ち、それらの合計が1になるベクトルのことである。

すべての確率ベクトルの根底には、結果を生み出す可能性のある実験があります。この実験を数学に結びつけるために、離散確率変数を導入します。これは、可能な各結果に数値を割り当てる関数です。たとえば、実験が1つのサイコロを振ることである場合、この確率変数の可能な値は整数1、2、…、6です。関連する確率ベクトルは6つの要素を持ち、それぞれが対応する結果を得る確率を表します。より一般的には、長さnの確率ベクトルは、確率変数のn個の可能な数値結果にわたる確率の分布を表します。^{[ 1 ]}

このベクトルは、その確率変数の確率質量関数を表しており、これは離散確率分布を特徴付ける標準的な方法です。^{[ 2 ]}

以下に確率ベクトルの例を示します。ベクトルは列または行のいずれかになります。^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.}$

• 任意の確率ベクトルの成分の平均は${\displaystyle 1/n}$[ ^{4 ]​}

• 確率ベクトルのユークリッド長は、その成分の分散と次の関係にある^{[ 5 ]}

${\displaystyle \|p\|={\sqrt {\,n\sigma ^{2}+{\tfrac {1}{n}}\,}}}$。

• この長さの式は最小値に達します。$\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$すべての構成要素が等しい場合、${\displaystyle p_{i}=1/n}$[ ^{3 ]​}
• 最長の確率ベクトルは、1つの成分で値が1、他のすべての成分で値が0であり、長さは1である。^{[ 3 ]}
• 最短のベクトルは最大の不確実性に対応し、最長のベクトルは最大の確実性に対応する。
• 分散$\displaystyle \sigma ^{2}}$確率ベクトルの${\displaystyle p=(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n})}$満たす：

${\displaystyle \sigma ^{2}\in \left[\,0,\,{\tfrac {n-1}{n^{2}}}\,\right].}$

下限値は、すべての構成要素が等しい場合に発生します。${\displaystyle p_{i}=1/n}$、そして1つの成分が等しい場合の上限は${\displaystyle 1}$そして残りは${\displaystyle 0}$[ ^{6 ]​}

分散の境界は、可能な結果の数が増えるにつれて${\displaystyle n}$が増加すると、分散は必然的にゼロに近づきます。その結果、確率ベクトルの成分がより等しくなるため、個々の結果に関連する不確実性が増加します。実証研究では、このため、結果をビン化して不確実性を低減することがよく行われます。${\displaystyle n}$;これは元の結果に含まれる情報の一部を破棄するものの、分布のより粗い構造を明らかにすることを可能にする。${\displaystyle n}$これは、情報理論や統計力学におけるエントロピーの根底にある均一性への傾向を反映している。^{[ 7 ]}

単体は、その頂点によって定義される与えられた次元の領域を完全に占める最も単純な幾何学的オブジェクトです。これは、n個のアフィン独立点の凸包として構築されます。${\displaystyle n=2}$これは線分です。${\displaystyle n=3}$三角形、${\displaystyle n=4}$正四面体、など。

確率単体（または標準単体）は単体の典型的な例です。これはn個の標準基底ベクトル を取ることによって得られます。${\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0),\quad e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0,\ldots ,0),\ \ldots }$ 頂点として、凸包を形成する： ${\displaystyle \Delta _{n-1}=\{\,p\in \mathbb {R} ^{n}\mid p_{i}\geq 0,\ \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1\,\}.}$

これは${\displaystyle (n-1)}$アフィン超平面上にある次元単体${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$確率変数${\displaystyle n}$起こりうる結果は当然この中に存在します${\displaystyle (n-1)}$-単体ではなく${\displaystyle n}$-シンプレックス。なぜなら、すべての確率の合計が1になるという要件により、自由度が1つ減少するからである。

コンポーネント${\displaystyle p_{i}}$重心座標として機能し、この単体は確率論において即座に解釈できます。各頂点は特定の結果に対応し、各内部点はn 個の結果の混合または分布を表します。n個の結果に関するあらゆる離散確率分布は、この単体の 1 つの点に正確に対応し、逆に、単体の各点は一意の分布を定義します。重心座標に沿って頂点に向かって移動することは、結果に対する確実性の増加に対応し、中心に向かって移動することは、より均一な分布に起因する不確実性の増加を表します。

確率単体は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$なぜなら、他の単体はアフィン変換によって得られるため、幾何学的および確率的解析の標準参照となるからである。^{[ 8 ] [ 9 ]}

n次元のすべての確率ベクトルは( n − 1) 次元単体内に含まれる。この単体の凸包は滑らかで徐々に変化する表面を形成しない。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$その代わりに、鋭い頂点、直線的な辺、そして平らな面を持つ。

• 確率ゼロ：

ある結果にゼロの確率を割り当てることは、その結果がもはや起こり得ないため、単体のより低次元の面へ移行することに相当する。

• 頂点を追加する:

確率変数に新たな結果が1つ追加されると、nが1つ増え、新たな直交次元が導入されます。その次元に新たな頂点が現れ、前の単体の各面がこの頂点と結合して、1つ上の次元の新しい面を形成します。例えば、三角形（2単体）に新たな頂点が加わると、その頂点を3つの辺それぞれに接続すると、3つの新たな三角形の面が生成され、正四面体が形成されます。次のステップでさらに頂点を追加すると、面が正四面体である4単体が生成されます。

• アフィン超平面:

確率単体はアフィン超平面上にある${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$その法線ベクトルは${\displaystyle a=(1,1,\ldots ,1)}$標準と共に${\displaystyle \|a\|={\sqrt {n}}}$したがって、超平面上のすべての点は、正象限内にあり、垂直距離は等しい。${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$原点から。これは、超平面上の任意の点をその法線ベクトルに投影すると${\displaystyle a}$は、平面の定義により一定です。原点から平面上の個々の点までのユークリッド距離は変化しますが、それらの垂直投影の長さ（に沿った成分）は一定です。${\displaystyle a}$) は固定されたままです。アフィン独立性とは、超空間の定義点が線形独立性の場合のように原点に対してではなく、互いに相対的に配置されていることを意味します。これにより、アフィン独立なオブジェクトは原点に対して「浮遊」することができます。これは、定義方程式に法線方向のオフセットを指定する定数項が含まれているためです。この定数を変更すると、オブジェクト全体がそれ自身に平行移動し、空間内の位置を変更しながら内部関係が維持されます。

• 重心：

一様分布に対応する重心は、 ${\displaystyle u=(1/n,1/n,\ldots ,1/n)}$それはユークリッド距離と垂直距離の両方に位置する。${\displaystyle \|u\|=1/{\sqrt {n}}}$原点から重心までの線は単体の法線ベクトルと一致するため、各頂点は等ユークリッド距離にある。$\displaystyle {\sqrt {(n-1)/n}}}$重心から。

• ハイパーキューブを含む：

( n − 1)次元確率単体は、n次元単位超立方体内に完全に収まります。この超立方体の総内容量（または尺度）は1単位です。ただし、この尺度の意味は次元によって変化します。単位正方形（次元2）の面積は1（1 × 1 = 1）、単位立方体（次元3）の体積は1（1 × 1 × 1 = 1）、次元4の単位超立方体の尺度は1（1⁴ = 1）などです。総内容量は一定のままですが、立方体のユークリッド対角線の長さは次元が上がるにつれて増加します。${\displaystyle {\sqrt {n}}}$そのため、 n が増加するにつれて、ハイパーキューブは幾何学的に「疎」になります^{[ 10 ]。}つまり、内容は変化しないにもかかわらず、その角は離れていきます。確率単体は、このハイパーキューブを横切る薄い ( n − 1) 次元のスライスのみを占め、垂直距離で断面を形成します。${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$起源から。^{[ 8 ] [ 9 ]}

• ボリューム（内容）：

の${\displaystyle (n-1)}$標準確率単体の次元内容（体積）は、単体体積のグラム行列式公式を用いて計算できます。頂点の選択${\displaystyle e_{n}}$基点として、残りの頂点がエッジベクトルを定義する

${\displaystyle v_{i}=e_{i}-e_{n},\qquad i=1,\dots ,n-1,}$

は${\displaystyle (n-1)}$座標が である次元アフィン超平面${\displaystyle p_{i}}$合計は1になります。これらのベクトルによって張られる平行六面体の内容は

${\displaystyle \operatorname {Vol} _{\mathrm {para} }={\sqrt {\det(G)}},}$

どこ${\displaystyle G}$グラム行列${\displaystyle G_{ij}=v_{i}\cdot v_{j}}$このグラム行列の行列式は${\displaystyle n}$[ ^{11 ] [ 12 ]}この単体^は正確に${\displaystyle 1/(n-1)!}$その平行六面体の体積のうち、その内容は

${\displaystyle V_{n-1}={\frac {\sqrt {n}}{(n-1)!}}.}$

この量は階乗的に減少する${\displaystyle n}$単体は単位の内部にあるが${\displaystyle n}$-立方体（体積が 1 ）の場合、単体に含まれる超立方体の体積の割合は、${\displaystyle n}$増加する。

• 確率行列
• ディリクレ分布