標準複合体

数学において、標準複素数 (standard complex ) は、標準分解、バー分解、バー複素数、バー構築とも呼ばれ、ホモロジー代数における分解を構築する方法である。これは、 Samuel EilenbergとSaunders Mac Lane  (1953)、およびHenri Cartanと Eilenberg (1956、IX.6)によって、可換環上の代数の特殊なケースに対して初めて導入され、その後、さまざまな方法で一般化されてきた。

「バー複体」という名前は、Eilenberg と Mac Lane (1953)が複体の表記で テンソル積の短縮形として縦棒 | を使用したことに由来しています。${\displaystyle \otimes }$

A が体K上の結合代数である場合、標準複素数は

${\displaystyle \cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A\rightarrow A\rightarrow 0\,,}$

微分は次のように与えられる。

${\displaystyle d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+1}\,.}$

Aが単位K代数である場合、標準複素数は正確です。さらに、はA双加群Aの自由A双加群分解です。 ${\displaystyle [\cdots \rightarrow A\otimes A\otimes A\rightarrow A\otimes A]}$

正規化された（または簡約された）標準複素数は に置き換えられます。 ${\displaystyle A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A}$${\displaystyle A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A}$

• コズルコンプレックス

• カルタン、アンリ;アイレンバーグ、サミュエル(1956)、ホモロジー代数、プリンストン数学シリーズ、第 19 巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-04991-5、MR  0077480
• アイレンバーグ、サミュエル;マックレーン、サンダース(1953)、「の群について。I」、数学年報、第 2 シリーズ、58 : 55–106、doi :10.2307/1969820、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969820、MR  0056295${\displaystyle H(\Pi ,n)}$
• ギンズバーグ、ビクター(2005)。「非可換幾何学の講義」。arXiv : math.AG/0506603。