球面バーンスタイン問題

球面バーンスタインの問題は、大域微分幾何学の分野における元々のバーンスタインの問題の一般化の可能性であり、 1969年にShiing-Shen Chernによって最初に提案され、その後1970年にニースで開催された国際数学者会議での全体演説で提案されました。

赤道は、位相次元球面である唯一の滑らかな埋め込み極小超曲面にありますか? ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$${\displaystyle n}$

さらに、球面バーンスタインの問題は、それ自体が元のバーンスタインの問題の一般化であるが、周囲空間を単連結のコンパクトな対称空間に置き換えることによってさらに一般化することもできる。この方向におけるいくつかの結果は、Wu-Chung Hsiangと Wu-Yi Hsiang の研究 によるものである。${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$

以下に、問題を表現する 2 つの方法を示します。

( n  − 1)球面を(1)の極小超曲面として埋め込むとすると、必ず赤道になるか？ ${\displaystyle S^{n}}$

Almgren - Calabi の定理によれば、 n = 3 (または最初の定式化では n = 2)の場合にこれが当てはまります。

Wu-Chung Hsiangは、 n ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14}（またはn ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 13}）に対してこれを証明した。

1987 年、ペル・トムターはこれをすべての偶数n（またはすべての奇数n）に対して証明しました。

したがって、すべての奇数n ≥ 9（またはすべての偶数n ≥ 8） については不明のままである。

ユークリッド球面内に埋め込まれた極小の超球面は必ず赤道になる というのは本当ですか?${\displaystyle n}$

幾何学的には、この問題は次の問題に類似しています。

極小超曲面の孤立した特異点における局所トポロジーは、円板のそれと必ず異なるのでしょうか?

たとえば、n = 3 の場合の球状バーンスタイン問題に対する肯定的な答えは、任意のリーマン 4 次元多様体内の任意の極小超曲面の孤立した特異点における局所トポロジーが円板の局所トポロジーと異なる必要があるという事実と同等です。

• FJ アルムグレン・ジュニア、「極小曲面の内部正則性定理とバーンスタインの定理の拡張」、数学年報、第 85 巻第 1 号 (1966 年)、277 ～ 292 ページ
• E. カラビ「ユークリッド空間における曲面の極小浸漬」微分幾何学ジャーナル、第 1 巻 (1967 年)、pp. 111–125
• P. トムター「偶数次元における球面ベルンシュタイン問題と関連問題」Acta Mathematica、第 158 巻 (1987)、pp. 189–212
• SS Chern、最小部分多様体に関する簡単な調査、Tagungsbericht (1969)、Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach
• SS Chern、微分幾何学、その過去と未来、Actes du Congrès international des mathématiciens (ニース、1970)、第 1 巻、41 ～ 53 ページ、Gauthier-Villars、(1971)
• WY Hsiang、WT Hsiang、P. Tomter、コンパクトな対称空間における最小超球の存在について、高等師範科学誌、第 21 巻 (1988 年)、287 ～ 305 ページ