シュペヒトの定理

数学において、スペクトの定理は、 2つの複素行列がユニタリ同値であるための必要十分条件を与える。この定理は、1940年にこの定理を証明したヴィルヘルム・スペクトにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}

複素数要素を持つ2 つの行列AとBは、 B = U * AUとなるようなユニタリ行列Uが存在する場合、ユニタリ同値であると言われます。^{[ 2 ]}ユニタリ同値な 2 つの行列は相似でもあります。相似な 2 つの行列は同じ線形写像を表しますが、基底が異なります。ユニタリ同値とは、正規直交基底から別の正規直交基底への変換に対応します。

AとBがユニタリ同値であれば、tr AA * = tr BB *が成り立ちます。ここで、trはトレースを表します（つまり、フロベニウスノルムはユニタリ不変量です）。これはトレースの巡回不変性から導かれます。B = U * AUの場合、tr BB * = tr U * AUU * A * U = tr AUU * A * UU * = tr AA * が成り立ちます。ここで、2番目の等式は巡回不変性です。^{[ 3 ]}

したがって、tr AA * = tr BB * はユニタリ同値性の必要条件ではあるが、十分条件ではない。スペクトの定理は、無限に多くの必要条件を与え、それらの条件は同時に十分条件でもある。この定理の定式化では、次の定義を用いる。2つの変数、例えばxとyの語は、次の形式の式である。

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

ここで、 m ₁、n ₁、m ₂、n ₂、 …、m _pは非負整数です。この単語の次数は

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Specht's theorem: Two matrices A and B are unitarily equivalent if and only if tr W(A, A*) = tr W(B, B*) for all words W.^[4]

The theorem gives an infinite number of trace identities, but it can be reduced to a finite subset. Let n denote the size of the matrices A and B. For the case n = 2, the following three conditions are sufficient:^[5]

${\displaystyle \operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*}.}$

For n = 3, the following seven conditions are sufficient:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{3}=\operatorname {tr} \,B^{3},\\&\operatorname {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$ ^[6]

For general n, it suffices to show that tr W(A, A*) = tr W(B, B*) for all words of degree at most

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2.}$ ^[7]

It has been conjectured that this can be reduced to an expression linear in n.^[8]

• Đoković, Dragomir Ž.; Johnson, Charles R. (2007), "Unitarily achievable zero patterns and traces of words in A and A*", Linear Algebra and Its Applications, 421 (1): 63–68, doi:10.1016/j.laa.2006.03.002, ISSN 0024-3795.
• Freedman, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Shirshov's theorem and representations of semigroups", Pacific Journal of Mathematics, 181 (3): 159–176, doi:10.2140/pjm.1997.181.159, ISSN 0030-8730.
• ホーン、ロジャー A.、ジョンソン、チャールズ R. (1985)、『行列解析』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6。
• Pappacena、Christopher J. (1997)、「有限次元代数の長さの上限」、Journal of Algebra、197 (2): 535–545、doi : 10.1006/jabr.1997.7140、ISSN 0021-8693 。
• Sibirskiǐ, KS (1976),微分方程式と行列の代数的不変量(ロシア語), Izdat. "Štiinca", Kishinev。
• ヴィルヘルム・シュペヒト(1940)、「Zur Theorie der Matrizen. II」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung、50 : 19–23、ISSN 0012-0456 。