シャッフリング

シャッフルとは、トランプゲームに偶然の要素を加えるためにトランプのデッキをランダムに並べる手順である。シャッフル者が結果を操作していないことを確認するために、シャッフルの後にはカットが行われることが多い。^[要出典]

少し練習すれば簡単にできるシャッフルの 1 つがオーバーハンド シャッフルです。ヨハン ヨナソンは、「オーバーハンド シャッフルとは、たとえば右手から左手に、親指でデッキの上から小さな束を滑らせて徐々にデッキを移すシャッフル テクニックです」と書いています。^[1]通常どおりに詳細に行うと、最初は左手にパックを持ち、ほとんどのカードを右手の親指と他の指でパックの下部からまとめてつかみ、左手に残っている小さな束から離します。次に、小さな束を右手から 1 束ずつ放ち、パック​​の上部に落として左手に集めます。このプロセスは数回繰り返されます。シャッフル全体のランダム性は、各シャッフルの小さな束の数と、繰り返しシャッフルを実行する回数によって増加します。

オーバーハンド シャッフルでは、巧妙な手品を使ってカードの順序を変え、積み重なったデッキを作る機会が十分にあります。プレイヤーがオーバーハンド シャッフルでごまかす最も一般的な方法は、必要なカードをパックの最上部または最下部に置き、シャッフルの開始時にそのカードを最下部に滑り込ませる (開始時に最上部にあった場合)、またはシャッフルの最後のカードとして残しておき、そのカードを最上部に置く (元々デッキの最下部にあった場合) ことです。

一般的なシャッフル技法は、リフル、ダブテイル・シャッフル、またはカードのリーフィングと呼ばれ、両手でデッキの半分を親指を内側にして持ち、カードを親指で放してテーブルに交互に落とす方法です。また、リフル後にカードを持ち上げてブリッジと呼ばれるものを形成し、カードを元の位置に戻す人も多くいます。また、半分をテーブルの上に平らに置き、後ろの角を触れ合わせ、親指で後ろの端を持ち上げながら半分を押し合わせることでもブリッジを行うことができます。この方法はより困難ですが、シャッフル中にカードが露出するリスクを最小限に抑えることができるため、カジノでよく使用されます。完璧なリフル・シャッフルには 2 種類あります。一番上のカードが上から 2 番目に移動した場合はイン・シャッフルで、そうでない場合はアウト・シャッフル(一番上のカードと一番下のカードの両方が保存される) と呼ばれます。

ギルバート・シャノン・リードモデルは、リフリングのランダムな結果の数学的モデルを提供し、実験的に人間のシャッフルによく適合することが示されており^[2]、カードデッキを完全にランダム化するためにリフリングを7回行うという推奨の根拠となっている。^[3]その後、数学者のロイド・M・トレフェセンとロイド・N・トレフェセンは、ギルバート・シャノン・リードモデルの微調整版を使用して論文を執筆し、ランダム性の定義方法を変更すれば、完全なランダム化のためのリフリングの最小回数も6回になる可能性があることを示した。^{[4] [5]}

「インディアン」、「カタール」、「ケンチ」（ヒンディー語でハサミ）または「クッティ シャッフル」とも呼ばれます。デッキは裏向きに持ち、中指を長い方の端に、親指をデッキの下半分に置きます。もう一方の手でデッキの上から 1 パケットを引き出します。このパケットは手のひらに落とします。この動作は、新たに引き出されたパケットが前のパケットの上に落ちるという形で何度も繰り返され、デッキがすべてもう一方の手に収まるまで続きます。インディアン シャッフルは、カードを取る手がすべて行うという点でストリッピングとは異なります。一方、ストリッピングでは、元のデッキを持つ手がアクションを実行し、結果としてできた山にカードを出します。これはアジアやその他の地域で最も一般的なシャッフル手法ですが、オーバーハンド シャッフルは主に西洋諸国で使用されています。

カードは単にいくつかの山に配られ、山は互いに積み重ねられます。これは決定論的であり、カードをまったくランダム化しませんが、隣り合っていたカードが分離されることを保証します。パイルシャッフルのいくつかのバリエーションでは、各サーキットでランダムな順序で山に配ることで、わずかにランダムになるようにしています。

人は、カードの束を空中または表面上に投げ、カードが同じ方向を向くようにランダムな順序で拾い上げます。拾い上げているときに特定のカードが近づきすぎると、十分なランダム化のために追加のピックアップまたは追加のシャッフル方法が必要になる場合があります。この方法は初心者には便利ですが、シャッフルにはカードを広げるための広くてきれいな表面が必要であり、必要以上に時間がかかる場合があります。

この方法は52ピックアップに似ており、初心者にも役立ちます。ケミー、アイリッシュ、ウォッシュ、スクランブル、ハードシャッフル、スムーシング、シュヴィルシェリング、またはカードのウォッシングとも呼ばれ、カードを裏向きに広げ、手でカードを滑らせるだけです。次に、カードを1つの山に移動して絡み合うようにし、その後、スタックに戻します。統計的にランダムなシャッフルは、約1分間のスムーシング後に達成されます。スムーシングは、サイモン・ホフマンによって広く普及しました。^[6]

モンジアン シャッフル、またはモンジのシャッフルは、次のように行います (右利きの場合)。シャッフルされていないデッキを左手に持ち、一番上のカードを右に移します。次に、一番上のカードを左手から繰り返し取って右に移し、2 番目のカードを新しいデッキの一番上に、3 番目を一番下に、4 番目を一番上に、5 番目を一番下に置きます。連続した番号のカードから始めた場合、結果は、カードが次の順序で並んだデッキになります。 ${\displaystyle \scriptstyle 1,2,3,4,5,6,\dots ,2n}$${\displaystyle \scriptstyle 2n,2n-2,2n-4,\dots ,4,2,1,3,\dots ,2n-3,2n-1}$

ウィービングとは、デッキの 2 つの半分の端を互いに押し付けて、自然に絡み合うようにする手順です。デッキを 26 枚のカードの均等な半分に分割し、特定の方法で押し付けて完全に絡み合うようにすることもあります。これはファロ シャッフルとして知られています。

ファロシャッフルは、両手で次のようにデッキを 2 つのパック (できれば同量) にカットして行います (右利きの場合)。カードを右手で上から持ち、左手で下から持ちます。デッキを分けるには、右手の親指でカードの半分をわずかに持ち上げ、左手のパックを右手から離すように前に押します。2 つのパックは、多くの場合、交差させて軽くたたいて揃えます。次に、短い辺を押し合わせて曲げます (上または下)。すると、カードはジッパーのように交互に収まります。上から圧力をかけて曲げることでパックを跳ね上げ、ブリッジ フィニッシュと呼ばれる華やかさを加えることができます。ファロは、適切に実行すればデッキがランダム化されない制御されたシャッフルです。

完璧なファロシャッフルは、カードが完全に交互になっているもので、カードマジシャンの間では最も難しい技の 1 つと考えられています。これは、シャッフルする人がデッキを 2 つの均等な束に切り分け、カードを互いに押し込むときに適切な圧力をかける必要があるためです。8 回連続で完璧なファロシャッフルを行うと、デッキの順序が元の順序に戻りますが、デッキに 52 枚のカードがあり、8 回のシャッフル中に元の一番上のカードと一番下のカードが位置 (1 番目と 52 番目) にとどまっている場合に限ります。シャッフルのたびに一番上のカードと一番下のカードが織り込まれている場合は、デッキを元の順序に戻すのに 52 回のシャッフル (順序を逆にするには 26 回のシャッフル) が必要です。

メキシカン スパイラル シャッフルは、一番上のカードをテーブルに置き、次に新しい一番上のカードをデッキの下に置き、次のカードをテーブルに置き、次のカードをデッキの下に置き、というように、最後のカードがテーブルに配られるまで繰り返して行われます。リフル シャッフルやオーバーハンド シャッフルに比べてかなり時間がかかりますが、他のプレイヤーがテーブルの上のカードを完全に制御できます。メキシカン スパイラル シャッフルは、19 世紀末にメキシコの一部の地域で、米国からやってくるギャンブラーや詐欺師から身を守る手段として人気がありました。^{[引用が必要]}

大きなデッキの場合に特に便利なのが、シャッフルする人がデッキを 2 つ以上の小さなデッキに分割し、残りの部分を他のシャッフルする人に渡して、各人が独自のシャッフル方法を選択できるようにすることです。シャッフルが続く間、小さなデッキまたは小さなデッキの一部が交換され、その後、小さなデッキが結合されて (短時間シャッフルされて) 元の大きなデッキになります。これにより、1 人のシャッフルする人がランダム化を不公平に制御することも防止されます。

通常、カットは、前のシャッフル方法の後に実行され、デッキをランダムなサイズの 2 つの部分に分割し、以前の小さい部分を以前の大きい部分の上に置くだけです。ランダム性をさらに確実にするため、またシャッフル者または観察者が上部または下部のカードを知ることを防ぐために、2 人目のシャッフル者がこれを実行することがあります。

マジシャン、手品師、カード詐欺師は、デッキが公平にシャッフルされたように見せかけて、実際には 1 枚以上のカード (デッキ全体を含む) が同じ位置のままであるさまざまなシャッフル方法を使用します。また、1 回以上のリフル シャッフルによって「デッキを積み重ねる」(カードを望ましい順序に配置する) ことも可能ですが、一般的には非常に難しいと考えられています。これは「リフル スタッキング」と呼ばれます。

パフォーマンスマジシャンとカード愛好家は、ザローシャッフルとプッシュスルーフォールスシャッフルを特に効果的なフォールスシャッフルの例として見なしています。これらのシャッフルでは、観客は正直なリフルシャッフルを見ていると思いますが、デッキ全体は元の順序のままです。^[7]

カジノでは、ディーラーにカードをシャッフルさせる代わりに、テーブルにシャッフル マシンを設置することがよくあります。これは、シャッフルの複雑さが増し、ディーラーと協力する場合でもプレイヤーが予測を立てるのが難しくなるなど、カジノにいくつかの利点があるためです。シャッフル マシンは、シャッフルに偏りが生じないように慎重に設計されており、通常はコンピューター制御されています。また、シャッフル マシンは、手動でシャッフルする場合に無駄になる時間を節約するため、テーブルの収益性が向上します。これらのマシンは、ディーラーの反復運動によるストレス障害を軽減するためにも使用されます。

迷信深いプレイヤーは電子機器を疑いの目で見ることが多いため、カジノでは、そのような人が集まるテーブル（バカラテーブルなど）ではディーラーがシャッフルを行うこともあります。

52枚のカードのデッキには、52の階乗（52と略記）通りのカードの並び方があります。言い換えると、52 × 51 × 50 × 49 × ··· × 4 × 3 × 2 × 1通りのカードの並び方の組み合わせがあります。これはおよそ8.0658 × 10 ⁶⁷ (80,658兆) 通りの順序が可能であり、具体的には 80,658,175,170,943,878,571,660,636,856,403,766,975,289,505,440,883,277,824,000,000,000,000 通りです。この数字の大きさは、ランダムに選択された 2 つの真にランダム化されたデッキが同じになる可能性が極めて低いことを意味します。ただし、ランダム化されたデッキ内のすべてのカードの正確な順序は予測できませんが、十分にランダム化されていないデッキについては、ある程度の確率的予測を行うことは可能です。  

「十分な」ランダム性レベルを得るのに充分なシャッフル回数は、シャッフルの種類と「十分に良いランダム性」の尺度によって決まり、その尺度はゲームによっても異なる。ほとんどのゲームでは、4～7回のリフルシャッフルで十分である。ブラックジャックのようなスーツのないゲームでは、4回のリフルシャッフルで十分であるが、スーツのあるゲームでは、7回のリフルシャッフルが必要である。しかし、7回のリフルシャッフルでも不十分なゲームもある。^[8]

実際には、必要なシャッフルの回数は、シャッフルの質と、非ランダム性の程度、特にプレイヤーが非ランダム性に気付き、それを利用する能力に左右されます。カジュアルなプレイでは、2～4回のシャッフルで十分です。しかし、クラブでのプレイでは、ブリッジの上手なプレイヤーは4回のシャッフル後に非ランダム性を活用します。^{[9]また、トップクラスのブラックジャックのプレイヤーは、デッキからエースを追跡すると言われています。これは「エース追跡」、またはより一般的には「}シャッフル追跡」として知られています。 ^[要出典]

1955年に中止されたベル研究所での初期の研究の後、何回のシャッフルが必要かという問題は1990年まで未解決のままでしたが、以下に詳述するように、7回のシャッフルで納得のいく解決がされました。 ^[9]これに先立っていくつかの結果が出ており、それ以来改良が続けられています。

シャッフルの数学の第一人者は、数学者でマジシャンのペルシ ・ディアコニスです。彼は1970年頃からこの問題の研究を始め、^[9] 1980年代、1990年代、2000年代には、多数の共著者とともにこのテーマに関する多くの論文を執筆しました。最も有名なのは、数学者のデイブ・ベイヤーとの共著である(Bayer & Diaconis 1992)で、ランダム・リフル・シャッフルのギルバート・シャノン・リード・モデルを分析し、5回の適切なリフル・シャッフルまでデッキはランダムになり始めず、7回以降はマルコフ連鎖混合時間で説明される変動距離の正確な意味で真にランダムであると結論付けました。もちろん、シャッフル技術が貧弱な場合は、より多くのシャッフルが必要になります。^[9]最近、トレフェセンらは、6回のシャッフルで十分であると結論付け、ディアコニスの結果の一部に疑問を投げかけています。^[10]違いは、それぞれがデッキのランダム性をどのように測定したかにかかっています。ディアコニスはランダム性の非常に敏感なテストを使用したため、より多くのシャッフルが必要でした。さらに敏感な測定法も存在し、特定のカードゲームに最適な測定法は何かという問題はまだ解決されていません。^{[要出典]ディアコニスは、}ブラックジャックなどのスーツのないゲームでは4回のシャッフルで十分であるとの回答を発表しました。^{[11] [12]}

一方、変動距離は許容範囲が広すぎる尺度であり、7回のリフルシャッフルは少なすぎる可能性があります。たとえば、新しいデッキを7回シャッフルすると、ニューエイジソリティアで勝つ確率は81%になりますが、均一ランダムデッキではその確率は50%です。^{[8] [13]ランダム性を敏感にテストする方法の1つは、}ジョーカーのない標準的なデッキをスーツに分け、2つのスーツをエースからキングの昇順、他の2つのスーツを逆順に並べたものです。（多くのデッキは、新品のときにすでにこの順序になっています。）シャッフル後、各スーツに残っている昇順のシーケンスの数でランダム性を測ります。^[8]

コンピュータが純粋にランダムな数にアクセスできる場合、カードをランダムに並べた「完全なシャッフル」を生成できます。この用語 (デッキを完全にランダム化するアルゴリズム) は、「完全に実行された単一のシャッフル」、特に完全にインターリーブされたファロ シャッフルとは異なることに注意してください。ドナルド クヌースによって普及したフィッシャー イェーツ シャッフルは、これを行うための単純 (数行のコード) かつ効率的 ( n 枚のカードのデッキでO ( n ) 、基本ステップに一定時間かかると仮定) なアルゴリズムです。シャッフルはソートの逆と考えることができます。

配列メモリ操作を一切使用しない Fisher-Yates の新しい代替手段は、疑似ランダム インデックス ジェネレーター (PRIG) 関数アルゴリズムを使用することです。

他にも、あまり望ましくないアルゴリズムが一般的に使用されています。たとえば、各カードに乱数を割り当て、カードを乱数の順に並べ替えることができます。これにより、生成された乱数が他の乱数 (ペア、トリプレットなど) と同じでない限り、ランダムな順列が生成されます。これは、ペアの 1 つの値をランダムに少しだけ上下に調整するか、十分に広い範囲の乱数を選択することで任意の低い確率に下げることで排除できます。マージソートやヒープソートなどの効率的なソートを使用する場合、これは平均O ( n log n ) で最悪のケースのアルゴリズム です。

これらの問題は、オンライン カード ゲーム用の模擬カードのパックのシャッフルのランダム性が重要となるオンライン ギャンブルでは、商業的にかなり重要です。このため、多くのオンライン ギャンブル サイトでは、シャッフル アルゴリズムと、これらのアルゴリズムを駆動するランダム性のソースについて説明しており、一部のギャンブル サイトでは、システムのパフォーマンスに関する監査レポートも提供しています。^[要出典]

• カード操作
• メンタルポーカー
• ソリティア（暗号）

ウィキメディア・コモンズには、トランプのシャッフルに関連するメディアがあります。

物理的なカードシャッフル:

• シャッフル方法の図解ガイド
• シャッフルシミュレーションを多用したマジシャンツール

シャッフルの数学:

• 現実世界のシャッフルの実践
• シャッフル - MathWorld - Wolfram Research
• アイヴァース・ピーターソンの MathTrek: カードシャッフルの悪ふざけ

現実世界（歴史的）への応用:

• オンラインポーカーで不正行為を学んだ方法: ソフトウェアセキュリティの研究