セット（カードゲーム）

Set（ SETまたはSET!と表記されることもある）は、1974年にマーシャ・ファルコによってデザインされ、1991年にSet Enterprisesから発売されたリアルタイムカードゲームです。デッキは81枚のユニークなカードで構成され、各特徴の種類ごとに3つの可能性を持つ4つの特徴が異なります。特徴の種類は、図形の数（1つ、2つ、または3つ）、図形（ひし形、波線、楕円）、陰影（塗りつぶし、縞模様、または空白）、色（赤、緑、または紫）です。 ^{[ 2 ]}特徴の可能な組み合わせ（たとえば、3つの縞模様の緑のひし形を持つカード）は、デッキに正確に1回だけカードとして登場します

このゲームでは、3枚のカードの特定の組み合わせが「セット」を構成するとされています。色、数字、形、陰影という4つの特徴カテゴリそれぞれについて、3枚のカードはその特徴をa)すべて同じか、b)すべて異なるかのいずれかで示さなければなりません。言い換えれば、各特徴について、3枚のカードは、2枚のカードが同じ特徴を示し、残りの1枚が異なる特徴を示すという組み合わせを避けなければなりません。

例えば、3つの赤いひし形、2つの緑の波線、1つの紫の楕円はセットを形成します。なぜなら、3枚のカードの色合いはすべて同じですが、数字、色、形はすべて異なっているからです。

どのセットにおいても、共通する特徴（3枚のカードすべてに共通する特徴）の数と、異なる特徴（3枚のカードすべてに異なる特徴）の数は、以下のように分類できます。4つの特徴すべてが異なる場合、1つの特徴が共通で3つの特徴が異なる場合、2つの特徴が共通で2つの特徴が異なる場合、または3つの特徴が共通で1つの特徴が異なる場合。（4つの特徴すべてが共通であるということは、セット内の3枚のカードがすべて同一であることを意味しますが、セットデッキには同一のカードは存在しないため、これは不可能です。）

デッキから任意の2枚のカードを選ぶと、それらとセットを形成するカードはただ1枚だけ存在する。

標準的なセットゲームでは、ディーラーは12枚のカードがテーブルに並べられるか、誰かがセットを見つけて「セット！」と叫ぶまでカードを配り続けます。「セット！」と叫んだプレイヤーはセットのカードを取り、ディーラーは12枚のカードがテーブルに並ぶまで配り続けます。12枚のカードの中にセットを見つけたプレイヤーは「セット！」と叫び、その3枚のカードを取り、ディーラーはさらに3枚のカードをテーブルに置きます。（「セット！」と叫んですぐにカードを取らなかった場合はペナルティとなります。）12枚のカードの中にセットがない場合、ディーラーはさらに3枚のカードを配り、配られたカードの枚数を15枚、または必要に応じて18枚以上にします。このように3枚ずつ配ってセットを見つけるプロセスは、デッキがなくなり、テーブルにセットがなくなるまで続きます。この時点で、最も多くのセットを集めたプレイヤーが勝ちとなります。

セットゲームには、セットを見つけるための異なるメカニズムや、異なるプレイヤー間の相互作用を伴う バリエーションが含まれています。ゲームの熱心なプレイヤーによって、追加のバリエーションが引き続き作成されています。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

このゲームは、デザイナーが遺伝学者としての仕事で使用していたコーディングシステムから発展したものです。形状はISO 5807に基づいています。^{[ 5 ]} Setは1991年にアメリカメンサのメンサセレクト賞を受賞し、1995年のドイツゲーム賞で9位に入賞しました。

第1回セット選手権は、2025年1月8日にワシントン州シアトルで開催された合同数学会議で行われた。約150人の選手が参加し、相葉大樹が特製のボクシングスタイルのベルトで優勝した。^{[ 6 ]} 2026年には、この大会はワシントンDCで開催され、アンダース・オルセンが優勝した。

• 任意の2枚のカードが与えられたとき、その2枚のカードとセットを形成するカードは必ず1枚存在する。したがって、完全なデッキから無作為に3枚のカードを引いてセットを作る確率は1/79である。
• キャップセットとは、セットのレイアウトを記述する数学的構造であり、どのセットも選択できないものです。セットを作成せずに組み合わせることができるカードの最大グループは20であり、これは1971年に証明されました（キャップ​​セットはゲームの前に研究されていました）。 ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}このようなグループは最大キャップセットと呼ばれます（ OEISのシーケンスA090245）。ドナルド・クヌースは2001年に、81枚のカードで構成されるセットには、サイズ20のキャップセットが682344個あることを発見しました。4次元有限空間上のアフィン変換の下では、それらはすべて本質的に1つのキャップセットに縮小されます。
• がある${\displaystyle \textstyle {\frac {81 \choose 2}{3}}={\frac {81\times 80}{2\times 3}}=1080}$ユニークなセット。
• セットが${\displaystyle d}$特徴が異なり、${\displaystyle 4-d}$同じ特徴は${\displaystyle \textstyle {\frac {{4 \choose d}2^{d}}{80}}}$（注： d  = 0の場合は 、2 枚のカードが同一ではないため不可能です。）したがって、可能なセットの 10% は 1 つの特徴で異なり、30% は 2 つの特徴で異なり、40% は 3 つの特徴で異なり、20% は 4 つの特徴すべてで異なります。
• 12枚のカードの組み合わせの数は${\displaystyle \textstyle {81 \choose 12}={\frac {81!}{12!69!}}=70\,724\,320\,184\,700\approx 7.07\times 10^{13}}$。
• セットのゲームで12枚のカードの中にセットがない確率は、最初のラウンドでは30:1から始まります。その後、確率は急速に低下し、4ラウンド目以降は14:1になり、次の20ラウンドでは徐々に13:1に低下します。したがって、ほとんどのラウンドでは、確率は14:1から13:1の間になります。^{[ 10 ]}
• ゲームをプレイしているときに、 15枚のカードの中にセットがない確率は88:1です。^{[ 10 ]} （これは、15枚のカードの中にセットがない確率（2700:1）とは異なります。なぜなら、プレイ中は、12枚のカードのグループにセットがない場合にのみ15枚のカードが表示されるからです。）
• 約30%のゲームでは、12枚のカードの中に必ずセットが含まれているため、15枚のカードを使う必要がありません。^{[ 11 ]}
• 12枚のカードで作成できるセットの最大数は14です。^{[ 12 ]}
• 12枚のカードで利用可能なセットの平均数は${\displaystyle \textstyle {12 \choose 3}\cdot {\frac {1}{79}}\approx 2.78}$そして15枚のカードの中に${\displaystyle \textstyle {15 \choose 3}\cdot {\frac {1}{79}}\approx 5.76}$しかし、実際の試合ではその数は少なくなる。
• デッキから26組のカードを選んだ場合、最後の3枚のカードは必然的に27組目のカードとなる。

プロパティと値の数が変化するSetの自然な一般化を用いることで、配られたカードのコレクションからセットが存在するかどうかを判定することがNP完全であることが示された。^{[ 13 ]}

Setは、1992年2月号のGames誌に掲載され、エリック・ベルリンはこのゲームを「中毒性のある、非常に独創的な知覚と論理のゲーム」であり、「一人でも対戦でも魅力的な挑戦」であると評している。^{[ 14 ]}また、1992年のGames 100 ^{[ 15 ]}とFamily Games: The 100 Best ^{[ 16 ]}にも掲載されている。

• 射影集合

• Set Enterprisesのウェブサイト