分離行列（数学）

数学において、分離線とは微分方程式における2つの挙動モードを分ける境界のことである。^[1]

単振り子の運動を記述する微分方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}+{g \over \ell }\sin \theta =0.}$

ここで、は振り子の長さ、重力加速度、および振り子と垂直下方向の角度を表します。このシステムでは、保存量H（ハミルトニアン）があり、次のように表されます。 ${\displaystyle \ell}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle H={\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{2}}-{\frac {g}{\ell }}\cos \theta .}$

これを定義すれば、システムの位相空間に定数Hの曲線をプロットできます。位相空間は、水平軸に 、垂直軸にがあるグラフです。右のサムネイルを参照してください。結果として得られる曲線の種類は、 Hの値によって異なります。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle {\dot {\theta}}}$

であれば、曲線は存在しません (は虚数であるため)。 ${\displaystyle H<-{\frac {g}{\ell }}}$${\displaystyle {\dot {\theta}}}$

すると、曲線は単純な閉曲線となり、 H が小さい場合はほぼ円形になり、H が上限に近づくと「目」の形になります。これらの曲線は、左右に周期的に揺れる振り子に対応します。 ${\displaystyle -{\frac {g}{\ell }}} <H<{\frac {g}{\ell }}}$

すると曲線は開き、これは振り子が永遠に完全な円を描いて揺れ続けることに相当します。 ${\displaystyle {\frac {g}{\ell }><H}$

このシステムでは、セパラトリックスは に対応する曲線です。セパラトリックスは、位相空間をそれぞれ異なる種類の動きを持つ 2 つの別個の領域に分離します (これが名前の由来です)。セパラトリックスの内側の領域には、前後に振動する振り子に対応するすべての位相空間曲線があり、セパラトリックスの外側の領域には、垂直平面円を連続的に回転する振り子に対応するすべての位相空間曲線があります。 ${\displaystyle H={\frac {g}{\ell }}}$

FitzHugh-Nagumo モデルでは、線形ヌルクラインが左、中央、右の分岐でそれぞれ 1 回ずつ 3 次ヌルクラインに突き刺さると、システムにはセパラトリックスが存在します。セパラトリックスの左側の軌道は左の安定平衡に収束し、右側についても同様です。セパラトリックス自体は、中央の鞍点の 安定多様体です。詳細については、ページを参照してください。

時間を遡って軌道を数値的に解くと、分離線がはっきりと見えます。時間を遡って軌道を解くと、軌道は分離線から離れますが、時間を遡って解くと、軌道は分離線に収束します。

• Logan, J. David, Applied Mathematics、第3版、2006年、John Wiley and Sons、ホーボーケン、ニュージャージー州、65ページ。

• MathWorldの Separatex です。