シューアテスト

数学的解析において、ドイツの数学者イサイ・シューアにちなんで名付けられたシューアテストは、シュワルツ核に関する積分演算子の演算子ノルムの境界である（シュワルツ核定理を参照）。 ${\displaystyle L^{2}\to L^{2}}$

ここに1つのバージョンがあります。^{[1] を}2つの測定可能な空間 （ など）と します。を非負のシュワルツ核、、を持つ積分演算子とします。 ${\displaystyle X,\,Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \,T}$${\displaystyle \,K(x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$

${\displaystyle Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy.}$

実関数と実数が存在し、 ${\displaystyle \,p(x)>0}$${\displaystyle \,q(y)>0}$${\displaystyle \,\alpha ,\beta >0}$

${\displaystyle (1)\qquad \int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\leq \alpha p(x)}$

ほぼ すべて の${\displaystyle \,x}$

${\displaystyle (2)\qquad \int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\leq \beta q(y)}$

ほぼすべての に対して、 は、演算子ノルムを持つ連続演算子に拡張されます${\displaystyle \,y}$${\displaystyle \,T}$ ${\displaystyle T:L^{2}\to L^{2}}$

${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}.}$

このような関数は、シュアーテスト関数と呼ばれます。 ${\displaystyle \,p(x)}$${\displaystyle \,q(y)}$

原典版では、は行列であり、である。^[2]${\displaystyle \,T}$${\displaystyle \,\alpha =\beta =1}$

シューア検定の一般的な使用法は、次のようになります。 ${\displaystyle \,p(x)=q(y)=1.}$

${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}^{2}\leq \sup _{x\in X}\int _{Y}|K(x,y)|\,dy\cdot \sup _{y\in Y}\int _{X}|K(x,y)|\,dx.}$

この不等式は、シュワルツ核が非負であるかどうかに関係なく有効です。 ${\displaystyle \,K(x,y)}$

演算子ノルムに関する同様の記述は、積分演算子に対するヤングの不等式として知られている。^[3]${\displaystyle L^{p}\to L^{q}}$

もし

${\displaystyle \sup _{x}{\Big (}\int _{Y}|K(x,y)|^{r}\,dy{\Big )}^{1/r}+\sup _{y}{\Big (}\int _{X}|K(x,y)|^{r}\,dx{\Big )}^{1/r}\leq C,}$

ここで、ある に対して が成り立つ場合、演算子は連続演算子 に拡張され、${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {1}{r}}=1-{\Big (}{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}{\Big )}}$${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty }$${\displaystyle Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy}$${\displaystyle T:L^{p}(Y)\to L^{q}(X)}$${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{p}\to L^{q}}\leq C.}$

コーシー・シュワルツの不等式と不等式(1)を用いると次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}|Tf(x)|^{2}=\left|\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy\right|^{2}&\leq \left(\int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\right)\left(\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}dy\right)\\&\leq \alpha p(x)\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy.\end{aligned}}}$

上の関係を で積分し、フビニの定理を使用し、不等式 (2) を適用すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Vert Tf\Vert _{L^{2}}^{2}\leq \alpha \int _{Y}\left(\int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\right){\frac {f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy\leq \alpha \beta \int _{Y}f(y)^{2}dy=\alpha \beta \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}.}$

任意の に対してとなる。 ${\displaystyle \Vert Tf\Vert _{L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}\Vert f\Vert _{L^{2}}}$${\displaystyle f\in L^{2}(Y)}$

• ハーディ・リトルウッド・ソボレフの不等式