シルダーの定理

数学において、シルダーの定理は、積分から関数ウィーナー積分へのラプラス法の一般化である。この定理は、確率過程の大偏差理論で使用されている。大まかに言えば、シルダーの定理から、ブラウン運動の（縮小された）サンプル経路が平均経路（値 0 で一定）から大きく外れる確率の推定値が得られる。この記述は、速度関数を使用して正確に表現される。シルダーの定理は、伊藤拡散に対するフリードリン・ウェンツェルの定理によって一般化されている。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

C ₀  =  C ₀ ([0,  T ];  R ^d )を、上限ノルム||⋅|| _∞を備え、導関数が である絶対連続関数の部分空間(いわゆるキャメロン・マーティン空間)である連続関数のバナッハ 空間とします。速度関数を定義します。 ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle C_{0}^{\ast}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\|{\dot {\omega }}(t)\|^{2}\,\mathrm {d} t}$

および が2 つの与えられた関数であるとし、そのような関数では(「アクション」) は一意の最小値を持ちます。 ${\displaystyle C_{0}^{\ast}}$${\displaystyle F:C_{0}\to \mathbb {R} ,G:C_{0}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle S:=I+F}$${\displaystyle \Omega \in C_{0}^{\ast}}$

そして、シルダー1966で詳述されている 微分可能性と成長の仮定の下では、${\displaystyle F,G}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {\mathbb {E} \left[\exp \left(-\lambda F(\lambda ^{-1/2}\omega )\right)G(\lambda ^{-1/2}\omega )\right]}{\exp \left(-\lambda S(\Omega )\right)}}=G(\Omega )\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\frac {1}{2}}\langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle \right)\right]}$

ここで、 は上のウィーナー測度に関する期待値を表し、は最小値におけるのヘッセ行列であり、は内積 の意味で意味されます。${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle D(\Omega )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle }$${\displaystyle L^{2}([0,T])}$

B を原点 0 ∈  R ^dから始まるd次元ユークリッド 空間 R ^dの標準ブラウン運動とする。WはBの法則、すなわち古典的なウィーナー測度を表すものとする。ε  > 0 に対して、W _{ε は}再スケールされた過程√ ε Bの法則を表すものとする。すると、最大ノルム||⋅|| _∞を備えた連続関数の バナッハ空間C ₀  =  C ₀ ([0,  T ];  R ^d )上で、確率測度W _εは、次式で与えられる良好な速度関数I  :  C ₀  →  R  ∪ {+∞} を持つ大偏差原理を満たす。 ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle f(0)=0}$

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}$

ω が絶対連続であればI ( ω ) = +∞であり、そうでなければ I ( ω ) = +∞ である。言い換えれば、すべての開集合 G  ⊆  C ₀とすべての閉集合 F  ⊆  C ₀に対して、

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(F)\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )}$

そして

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).}$

ε  = 1/ c ²とすると、シルダーの定理を用いて、標準ブラウン運動Bが時間間隔[0,  T ]にわたって開始点からcより遠くに逸れる確率、すなわち確率

${\displaystyle \mathbf {W} (C_{0}\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\|\cdot \|_{\infty }))\equiv \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty }>c{\big ]},}$

c が無限大に近づくにつれて、 B _c (0; ||⋅|| _∞ )は、 C ₀の零関数の周りの半径cの開球を、上限ノルムに関して表す。まず、

${\displaystyle \|B\|_{\infty }>c\iff {\sqrt {\varepsilon }}B\in A:=\left\{\omega \in C_{0}\mid |\omega (t)|>1{\text{ for some }}t\in [0,T]\right\}.}$

速度関数はA上で連続なので、シルダーの定理は次式を与える。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{c\to \infty }{\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\in A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1}{2T}},\end{aligned}}}$

集合A内の経路の最小値はω ( t )= ⁠で達成されるという事実を利用する。t/Tこの結果は、cが大きい場合やTが大きい場合、

${\displaystyle {\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}\approx -{\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\approx \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2T}}\right).}$

実際、上記の確率はより正確に推定することができます。R ⁿの標準ブラウン運動Bと任意のT、c、ε > 0の場合、次の式が得られます 。

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\left|{\sqrt {\varepsilon }}B_{t}\right|\geq c\right]\leq 4n\exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).}$

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998)。大偏差の手法と応用。数学の応用 (ニューヨーク) 38 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。pp. xvi+ 396。ISBN 0-387-98406-2. MR  1619036。（定理5.2参照）