サン＝ヴナンの定理

固体力学では、一定断面を持つ梁の特性を解析するのが一般的です。サン＝ヴナンの定理は、最大のねじり剛性を持つ単連結断面は円である と述べています。 ^[1]この定理は、フランスの数学者アデマール・ジャン・クロード・バレ・ド・サン＝ヴナンにちなんで名付けられました。

面積Aを持つ平面上の単連結 領域D、その半径、および最大内接円の面積が与えられた場合、 D のねじり剛性Pは次のよ​​うに定義されます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle P=4\sup _{f}{\frac {\left(\iint \limits _{D}f\,dx\,dy\right)^{2}}{\iint \limits _{D}{f_{x}}^{2}+{f_{y}}^{2}\,dx\,dy}}.}$

ここで、上限は、 Dの境界上で消えるすべての連続微分可能関数に対して取られます。この上限の存在は、ポアンカレ不等式の結果です。

サン＝ヴナン^[2]は1856年に、等しい面積Aを持つすべての領域Dのうち、円形の領域が最もねじり剛性が高く、

${\displaystyle P\leq P_{\text{circle}}\leq {\frac {A^{2}}{2\pi }}.}$

この不等式の厳密な証明は1948年にポリアによってなされた。^{[3]別の証明は}ダベンポートによってなされ、 ^[4]に報告された。 より一般的な証明と推定

${\displaystyle P<4\rho ^{2}A}$

はMakaiによって与えられたものである。^[1]