座標環上の表現

数学において、座標環上の表現は、アフィン多様体の座標環上の群の表現です。

X を、簡約代数群Gの作用を持つ、特性 0 の代数閉体k上のアフィン代数多様体とします。[ ^{1]このとき、}G はXの座標環に左正規表現として作用します: 。これは、 Xの座標環上のGの表現です。 $k[X]$ $(g\cdot f)(x)=f(g^{-1}x)$

最も基本的なケースは、X がアフィン空間（つまり、XがGの有限次元表現）であり、座標環が多項式環である場合です。最も重要なケースは、 X が対称多様体、つまり、反転の不動点部分群によるGの商である場合です。

同型分解

を単純加群に同型なのすべてのG部分加群の和とします。これはの-同型成分と呼ばれます。すると、直和分解が存在します。 $k[X]_{(\lambda )}$ $k[X]$ $V^{\lambda }$ $\lambda$ $k[X]$

k[X]=\bigoplus _{\lambda }k[X]_{(\lambda )}

ここで、和はすべての単純なG加群にわたって実行されます。分解の存在は、たとえば、Gが簡約的であるためGの群代数が半単純であるという事実から生じます。 $V^{\lambda }$

X が重複度フリー（または球状多様体^[2]）であるとは、 Gのすべての既約表現が座標環に最大で 1 回しか現れない場合、つまりであるときをいう。たとえば、は - 加群として重複度フリーである。より正確には、Gの閉部分群H が与えられたとき、定義する。 $\operatorname {dim} k[X]_{(\lambda )}\leq \operatorname {dim} V^{\lambda }$ $G$ $G\times G$

\phi _{\lambda }:V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H}\to k[G/H]_{(\lambda )}

を設定して線形拡張することによって得られる。の像の関数は通常、行列係数と呼ばれる。次に、 -モジュール（NはHの正規化子）の直和分解がある。 $\phi _{\lambda }(\alpha \otimes v)(gH)=\langle \alpha ,g\cdot v\rangle$ $\phi _{\lambda }$ $\phi _{\lambda }$ $G\times N$

k[G/H]=\bigoplus _{\lambda }\phi _{\lambda }(V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H})

、

これはピーター・ワイルの定理の代数版です(実際、解析版は直接の帰結です)。証明: W をの単純-サブモジュールとします。と仮定できます。をWの線型汎関数としてとします。するととなります。つまり、の像はを含み、は同変なのでその逆の包含が成り立ちます。 $G\times N$ $k[G/H]_{(\lambda )}$ $V^{\lambda }=W$ $\delta _{1}$ $\delta _{1}(w)=w(1)$ $w(gH)=\phi _{\lambda }(\delta _{1}\otimes w)(gH)$ $\phi _{\lambda }$ $k[G/H]_{(\lambda )}$ $\phi _{\lambda }$