縮小カイ二乗統計

統計学では、カイ二乗検定は適合度検定で広く使用されています。また、同位体年代測定では平均二乗加重偏差（MSWD）^[1]として、また加重最小二乗法では単位重量の分散としても知られています。^{[2] [3]}

その平方根は回帰標準誤差^[4] 、回帰の標準誤差^[5]、 [ ^6]、または式の標準誤差^[7]と呼ばれる （通常の最小二乗法§ 縮小カイ二乗法を参照）。

これは自由度あたりのカイ二乗として定義されます: ^{[8] [9] [10] [11] : 85  [12] [13] [14] [15]} ここでカイ二乗は、分散、観測値O、計算データC を入力として、 偏差の二乗の加重和です。^[8] 自由度は、観測値の数nから適合パラメータの数mを引いたものに等しくなります。 $${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {\chi ^{2}}{\nu }},}$$$${\displaystyle \chi^{2}=\sum_{i}{\frac{(O_{i}-C_{i})^{2}}{\sigma_{i}^{2}}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle \nu =nm}$

加重最小二乗法では、定義は多くの場合、次のように行列表記で記述されます 。 ここで、 rは残差のベクトル、Wは重み行列、つまり観測の入力（対角）共分散行列の逆行列です。W が非対角の場合、一般化最小二乗法が適用されます。 $${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {r^{\mathrm {T} }Wr}{\nu }},}$$

通常の最小二乗法では、定義は次のように簡略化されます。 ここで、分子は残差二乗和(RSS) です。 $${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {\mathrm {RSS} }{\nu }},}$$ $${\displaystyle \mathrm {RSS} =\sum r^{2},}$$

適合が単なる平均である場合、 はサンプル分散、つまりサンプル標準偏差の二乗に等しくなります。 ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$

一般的に、測定誤差の分散が事前にわかっている場合、 はモデルの適合性が低いことを示します。 は、適合がデータを完全に捉えていない（または誤差分散が過小評価されている）ことを示します。原則として、約 の値は、観測値と推定値の一致の程度が誤差分散と一致していることを示します。 は、モデルがデータに「過剰適合」していることを示します。つまり、モデルがノイズを不適切に適合しているか、誤差分散が過大評価されているかのどちらかです。^{[11] :  89}${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}\gg 1}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}>1}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}<1}$

測定誤差の分散が部分的にしか分かっていない場合、縮小カイ二乗は事後的に推定された補正として機能する可能性があります。

地質年代学において、MSWDは内部再現性と外部再現性の相対的な重要性を考慮した適合度の尺度であり、同位体年代測定で最もよく使用されます。^{[16] [17] [1] [18] [19] [20]}

一般的には、次のようになります。

年齢データがt（算術平均年齢の場合）またはlog( t )（幾何平均年齢の場合）空間で単変量正規分布に適合する場合、または組成データが[log( U / He )、log( Th /He)]空間（中心年齢の場合）で二変量正規分布に適合する場合は、MSWD = 1になります。

観測された散布が分析の不確実性によって予測された散布よりも小さい場合、MSWD < 1 となります。この場合、データは「分散不足」であると言われ、分析の不確実性が過大評価されていることを示します。

観測された散乱が分析の不確実性によって予測されるものを超える場合、MSWD > 1 となります。この場合、データは「過剰分散」していると言えます。この状況は (U-Th)/He 地質年代学では例外ではなく規則であり、同位体システムの理解が不完全であることを示しています。(U-Th)/He データの過剰分散を説明するために、U-Th 分布の不均一や放射線による損傷など、いくつかの理由が提案されています。

地質年代学者は、多くの場合、単一のサンプルで一連の年代測定を行い、測定値には重み付けと各年代測定の関連誤差が与えられます。重み付けに関しては、測定されたすべての年代を均等に重み付けするか、サンプルに占める割合に応じて重み付けすることができます。たとえば、サンプルの 3 分の 2 を最初の測定に使用し、3 分の 1 を 2 番目と最後の測定に使用した場合、最初の測定には 2 番目の測定の 2 倍の重み付けをします。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \sigma_{x_{i}}}$

年齢判定の算術平均は、 各年齢判定が同等の重要性を持っていない限り、この値が誤解を招く可能性があります。 $${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}},}$$

各測定値が同じ重み付け、つまり有意性を持つと想定できる場合、分散の偏りのある推定値と偏りのない推定値（それぞれ 「サンプル」と「母集団」）は次のように計算されます。$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{N}}{\text{ および }}s^{2}={\frac {N}{N-1}}\cdot \sigma ^{2}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}$$

標準偏差は分散の平方根です。

年齢の個々の判定が同等の重要性を持たない場合は、次のように加重平均を使用して「平均」年齢を取得する方が適切です。 $${\displaystyle {\overline {x}}^{*}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}.}$$

偏りのある重み付き分散推定量は 次のように計算できる。 $${\displaystyle \sigma^{2}={\frac {\sum_{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline{x}}^{*})^{2}}{\sum_{i=1}^{N}w_{i}}},}$$$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}}}.}$$

サンプル分散の不偏加重推定値は次のように計算できます。 この場合も、対応する標準偏差は分散の平方根です。 $${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}.}$$

サンプル分散の不偏加重推定値は、次のようにして即座に計算することもできます。 $${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}.}$$

加重偏差の加重されていない平均二乗 (加重されていない MSWD) は、次のように計算できます。 $${\displaystyle {\text{MSWD}}_{u}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sigma _{x_{i}}^{2}}}.}$$

同様に、加重偏差の加重平均二乗（加重 MSWD）は次のように計算できます。 $${\displaystyle {\text{MSWD}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{(\sigma _{x_{i}})^{2}}}.}$$

ラシュモデルに基づくデータ分析では、縮小カイ二乗統計量はアウトフィット平均二乗統計量と呼ばれ、情報加重縮小カイ二乗統計量はインフィット平均二乗統計量と呼ばれる。^[21]