ラムゼイ問題

ラムゼー問題、またはラムゼー価格設定、あるいはラムゼー・ボワトゥー価格設定は、公的独占企業が固定費をカバーするのに十分な収益を上げながら社会的厚生（生産者余剰と消費者余剰の合計）を最大化するために、販売するさまざまな製品にどのような価格を設定するべきかに関する次善の政策問題です。

ラムゼー価格設定では、限界費用に対する価格マークアップは、需要の価格弾力性および供給の価格弾力性に反比例します。つまり、製品の需要または供給の弾力性が高いほど、マークアップは小さくなります。フランク・P・ラムゼーは、 1927年に「最適課税」の文脈でこれを発見しました。需要または供給の弾力性が高いほど、最適税は小さくなります。^[1]このルールは後にマルセル・ボワテックス（1956年）によって自然独占（平均費用が減少する産業）に適用されました。自然独占は、価格を限界費用に等しく設定すると利益がマイナスになるため、政府の補助金なしで存続するには、販売する製品の一部またはすべての価格を限界費用以上に設定する必要があります。ラムゼー価格設定では、弾力性の最も低い（つまり、価格に最も敏感でない）需要または供給を持つほとんどの商品をマークアップします。

固定費をカバーするのに十分な収益を上げる必要がないファーストベストの世界では、各製品の価格を限界費用と等しく設定するのが最適な解決策です。しかし、固定費が大きい場合に起こるように、需要曲線が平均費用曲線と交差する場所で平均費用曲線が下降している場合、価格は平均費用を下回り、企業は補助金なしでは存続できません。ラムゼー問題は、企業の収益が総費用と等しくなるように、各製品の価格を限界費用よりどれだけ引き上げるかを正確に決定することです。製品が 1 つだけの場合、問題は単純です。平均費用と等しくなるまで価格を上げます。製品が 2 つある場合は、企業が全体的に損益分岐点に達する限り、一方の製品の価格を高く上げ、もう一方の価格を低く上げる余地があります。

この原則は、政府が唯一の供給者である商品（公共事業）の価格設定や、電気通信会社などの自然独占の規制に適用できます。電気通信会社の場合、1 つの企業だけが運営するのが効率的ですが、政府がその価格を規制して市場を上回る利益を得ないようにします。

実際には、政府の規制当局は、生産者余剰と消費者余剰の合計を最大化することだけに関心があるわけではない。彼らは、政治的に影響力のある消費者の余剰に重きを置きたいかもしれないし、貧困層の余剰に重きを置くことで彼らを助けたいかもしれない。さらに、多くの人々は、特にそれが総余剰を最大化する理由を理解していない場合、ラムゼー価格設定を不公平だと考えるだろう。状況によっては、ラムゼー価格設定は価格差別の一形態である。なぜなら、需要の弾力性が異なる 2 つの製品は、物理的に同一の 1 つの製品であり、2 つの異なる顧客グループに販売されるからである。たとえば、住宅顧客と商業顧客への電気などである。ラムゼー価格設定は、全体的な社会福祉を最大化するために、需要の弾力性が低いグループに高い価格を請求することを規定している。顧客は、社会福祉ではなく自分の個人的な福祉を気にするため、その理由でこれに反対することがある。高い価格を請求された顧客は、特に需要の弾力性が低い顧客は、その商品をより「必要」だと言うだろうから、不公平だと考えるかもしれない。そのような状況では、規制当局は、事業者がラムゼー価格を採用する能力をさらに制限する可能性がある。^[2]

規制当局が、費用がかかる多品種独占企業の価格を設定しようとする問題を考えてみましょう。ここで、は財iの生産量、は価格です。^[3]製品は別々の市場で販売されているため需要は独立しており、財iの需要は逆需要関数で、総収入は${\displaystyle \left(p_{1},\ldots ,p_{N}\right)}$${\displaystyle C(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})=C(\mathbf {q} ),}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle q_{i}\left(p_{i}\right),}$${\displaystyle p_{i}(q).}$${\displaystyle R\left(\mathbf {p,q} \right)=\sum _{i}p_{i}q_{i}(p_{i}).}$

総福祉は次のように表される。

${\displaystyle W\left(\mathbf {p,q} \right)=\sum _{i}\left(\int \limits _{0}^{q_{i}(p_{i})}p_{i}(q)dq\right)-C\left(\mathbf {q} \right).}$

問題は、利益が 何らかの固定値に等しいという要件を条件として、 の選択によってを最大化することです。通常、固定値はゼロです。つまり、規制当局は、企業が損失を出さないという制約を条件として、福祉を最大化したいと考えています。制約は、一般的に次のように表すことができます。 ${\displaystyle W\left(\mathbf {p,q} \right)}$${\displaystyle \Pi =RC}$${\displaystyle \Pi^{*}}$

${\displaystyle R(\mathbf {p,q} )-C(\mathbf {q} )\geq \Pi ^{*}}$

この問題は、ラグランジュ乗数法を使って最適な出力値を算出し、最適な価格をバックアウトすること で解決できる。${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}-C_{i}\left(\mathbf {q} \right)&=-\lambda \left({\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}-C_{i}\left(\mathbf {q} \right)\right)\\&=-\lambda \left(p_{i}\left(1-{\frac {1}{\mathrm {弾性} _{i}}}\right)-C_{i}\left(\mathbf {q} \right)\right)\end{aligned}}}$

ここで、はラグランジュ乗数、C _i ( q ) はq _iに関するC ( q )の偏微分で、 qで評価され、は財の需要の弾力性である。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mathrm {弾性} _{i}=-{\frac {\partial q_{i}}{\partial p_{i}}}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$${\displaystyle i.}$

利回り を分割して並べ替える${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {p_{i}-C_{i}\left(\mathbf {q} \right)}{p_{i}}}={\frac {k}{\mathrm {弾性} _{i}}}}$

ここで です。つまり、商品の限界費用と比較した価格マージンも、需要の弾力性に反比例します。ラムゼーマークアップは、ラーナールールの通常の独占マークアップよりも小さいことに注意してください。これは、（固定利潤要件は拘束力がない）ためです。ラムゼー価格設定独占は、通常の独占と完全競争の間の次善の均衡にあります。 ${\displaystyle k={\frac {\lambda }{1+\lambda }}<1.}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \Pi ^{*}=RC}$

2 つの出力のコンテキストでこの問題を解決するより簡単な方法は、ラムゼー条件です。ラムゼーによれば、デッドウェイト損失を最小限に抑えるためには、最善の解決策 (限界費用に等しい価格)で請求される価格と比較して、硬直的および弾力的な需要/供給に対して同じ比率で価格を上げる必要があります。

• アモローソ・ロビンソン関係
• ラーナー指数