二次リー代数

二次リー代数とは、互換性のある対称双線形形式を持つリー代数のことです。互換性とは、随伴表現の下で不変であることを意味します。このような例としては、 su( n )やsl( n , R )などの半単純リー代数があります。

意味

二次リー代数は、リー代数 ( g ,[.,.]) と非退化対称双線形形式を組み合わせたものである。 $(.,.)\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$ つまり、随伴作用の下で不変である。

([ X , Y ], Z )+( Y ,[ X , Z ])=0

ここで、X、Y、Zはリー代数gの要素である。局所化/一般化はクーラン代数群の概念であり、ベクトル空間gはベクトル束(のセクション) に置き換えられる。

最初の例として、ゼロ括弧と標準内積を持つR ^{n を考えてみましょう。}

((x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\dots ,y_{n})):=\sum _{j}x_{j}y_{j}

。

括弧は自明であるため、不変性は自明に満たされる。

より詳細な例として、 so(3)、すなわち基底がX、Y、ZであるR ³、標準内積、およびリー括弧を考えてみましょう。

[X,Y]=Z,\quad [Y,Z]=X,\quad [Z,X]=Y

。

簡単な計算で、内積が確かに保存されることがわかる。一般化は以下のとおりである。

多くの例が半単純リー代数、すなわち随伴表現が忠実なリー代数の範疇に当てはまります。例としては、sl(n,R)とsu(n)、およびそれらの直和が挙げられます。したがって、 g を随伴表現adを持つ半単純リー代数とします。

\mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}):X\mapsto (\mathrm {ad} _{X}\colon Y\mapsto [X,Y])

。

殺し方を定義する

k\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} :X\otimes Y\mapsto -\mathrm {tr} (\mathrm {ad} _{X}\circ \mathrm {ad} _{Y})

。

カルタンの基準により、キリング形式が非退化であるのは、リー代数が半単純である場合に限る。

gが単純リー代数でもある場合、キリング形式は唯一の不変対称双線形形式を再スケーリングするだけになります。

この記事は、 PlanetMathの Quadratic Lie algebra の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。