プルーエ・タリー・エスコット問題

数学において、プルーエ・タリー・エスコット問題は、それぞれn個の整数からなる互いに素な2つの多重集合AとBを求め、それらの最初のk乗和対称多項式がすべて等しいことを要求する。つまり、2つの多重集合は次の式を満たす必要がある。

$\sum_{a\in A}a^{i}=\sum_{b\in B}b^{i}}$

1から与えられたkまでの各整数iについて。nはkより厳密に大きくなければならないことが示されています。${\displaystyle k=n-1}$理想解と呼ばれる。理想解は、${\displaystyle 3\leq n\leq 10}$そして${\displaystyle n=12}$理想的な解決策は知られていない${\displaystyle n=11}$または${\displaystyle n\geq 13}$[ ^{1 ]​}

この問題は、1850年代初頭に研究したウジェーヌ・プルエと、1910年代初頭に研究したガストン・タリーとエドワード・B・エスコットにちなんで名付けられました。この問題の起源は、クリスティアン・ゴールドバッハとレオンハルト・オイラーの書簡（1750/1751年）にあります。

プルーヘ・タリー・エスコット問題の高次元版は、 2007年にアンドレアス・アルパースとロバート・ティデマンによって導入され、研究された。与えられたパラメータ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$2つの異なる多重集合を見つける${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n},y_{n})\}}$、${\displaystyle \{(x_{1}',y_{1}'),\dots ,(x_{n}',y_{n}')\}}$からポイント${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ そのため

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{j}y_{i}^{d-j}=\sum _{i=1}^{n}{x'}_{i}^{j}{y'}_{i}^{d-j}}$

すべての人々のために${\displaystyle d,j\in \{0,\dots ,k\}}$と${\displaystyle j\leq d.}$この問題は離散トモグラフィーに関連しており、ガウス整数上の特別な Prouhet-Tarry-Escott 解にもつながります(ただし、Alpers-Tijdeman 問題の解は Prouhet-Tarry-Escott のガウス整数解をすべて網羅するものではありません)。

解決策${\displaystyle n=6}$そして${\displaystyle k=5}$例えば、以下のように与えられる。

${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{6},y_{6})\}=\{(2,1),(1,3),(3,6),(6,7),(7,5),(5,2)\}}$そして

${\displaystyle \{(x'_{1},y'_{1}),\dots ,(x'_{6},y'_{6})\}=\{(1,2),(2,5),(5,7),(7,6),(6,3),(3,1)\}}$。

解決策はありません${\displaystyle n=k+1}$と${\displaystyle k\geq 6}$知られている。

--- Ali Uzel による、k=2、n=3 の場合の Prouhet-Tarry-Escott 問題に対する「ピタゴラス三角形アプローチ」。代数と幾何学が出会う解決策。

a ¹ + b ¹ + c ¹ = d ¹ + e ¹ + f ¹

a² ⁺ b² + ^c² = ^d² + ^e² + ^f²​

例えば、^a² + b² ⁼ d²^{ピタゴラス} の三角形 A（d は斜辺、a と b は辺） c² ⁼ e² ⁺ f²^{ピタゴラス} の三角形 B（c は斜辺、e と f は辺）

両辺を合計すると、

a² ⁺ b² + ^c² = ^d² + ^e² + ^f²​

したがって、この方程式には2つのピタゴラス三角形が含まれているように思われる。

式 a ¹ + b ¹ + c ¹ = d ¹ + e ¹ + f ^{1 より}

= > a ¹ + b ¹ - d ¹ = e ¹ + f ¹ - c ¹

一方、ピタゴラス三角形に内接する円の半径は、次のように計算できます。

r = (1辺の長さ + 2辺の長さ - 斜辺の長さ) / 2

この方程式の左右両辺は、ピタゴラス三角形に内接する円の半径を計算する式に似ています。したがって、共通の内接円を持つピタゴラス三角形が2つ存在し、それらの長さがk=2、n=3の場合のProuhet-Tarry-Escott問題の解となる可能性があります。

したがって、2 つのピタゴラス三角形の長さは、次の式を満たす場合に解となります。ここで、(a,b,d) はピタゴラス三角形 A に属し、(e,f,c) はピタゴラス三角形 B に属します。d と c はそれぞれピタゴラス三角形 A と B の斜辺です。

a ¹ + b ¹ - d ¹ = e ¹ + f ¹ - c ¹

例1：（5,12,13）と（6,8,10）は、解に適したピタゴラス三角形です。

5 + 12 - 13 = 6 + 8 - 10 = 4

以下の式に適用すると、

a ¹ + b ¹ + c ¹ = d ¹ + e ¹ + f ¹

a² ⁺ b² + ^c² = ^d² + ^e² + ^f²​

5 + 12 + 10 = 6 + 8 + 13

5² + ^12² + ^10² = ^6² + ^8² + ^13²​

この方法を用いることで、k=2、n=3、6、9...の場合の様々なピタゴラス三角形を検討することができる。

• オイラーのべき乗和予想
• ビールの推測
• ヤコビ・マッデン方程式
• ランダー、パーキン、セルフレッジの推測
• タクシー番号
• ピタゴラスの四つ組
• べき乗の和、関連する予想と定理のリスト
• 離散断層撮影

• Borwein, Peter B. (2002)、「Prouhet–Tarry–Escott問題」、Computational Excursions in Analysis and Number Theory、CMS Books in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 85–96、ISBN  0-387-95444-92009年6月16日取得第11章
• Alpers, Andreas ; Rob Tijdeman (2007)、「二次元 Prouhet-Tarry-Escott 問題」(PDF)、Journal of Number Theory、123 (2): 403–412、doi : 10.1016/j.jnt.2006.07.001、2015年4月1日取得。

• ワイスタイン、エリック W.、「プルエ・タリー・エスコット問題」、MathWorld