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数学において、累進関数 ƒ∈L2  (  ^{R )は}、そのフーリエ変換が正の周波数でのみサポートされる関数である。[ 1 ^]

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{+}.}$

これを超回帰的と呼ぶのは、時間反転関数f (− t ) が進行的である場合、または同等に、

${\displaystyle \mathop {\rm {supp}} {\hat {f}}\subseteq \mathbb {R} _{-}.}$

累進関数の複素共役は回帰関数であり、その逆も同様 です。

累進関数の空間は と表記されることもあり、これは上半平面の ハーディ空間として知られている。これは累進関数がフーリエ反転公式を持つためである。${\displaystyle H_{+}^{2}(R)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}{\hat {f}}(s)\,ds}$

そして上半平面上の正則関数に拡張される。 ${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\geq 0\}}$

式によって

${\displaystyle f(t+iu)=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi is(t+iu)}{\hat {f}}(s)\,ds=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi ist}e^{-2\pi su}{\hat {f}}(s)\,ds.}$

逆に、すべての水平線上で一様に二乗積分可能な上半平面上のすべての正則関数は、このようにして生じます。

回帰関数も同様に下半平面上のハーディ空間に関連付けられます。 ${\displaystyle \{t+iu:t,u\in R,u\leq 0\}}$

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