先駆者（物理学）

前駆波は、インパルスが媒体を伝播する際にその周波数成分が分散することによって生じる特徴的な波動パターンである。典型的には、前駆波は主信号に先行するが、特定の状況では主信号の後に続くこともある。前駆波現象はすべてのタイプの波に存在し、その出現は特定の波動伝播モードにおける分散効果の顕著性にのみ基づいている。この非特異性は、さまざまな種類の電磁放射（マイクロ波、^[1] 可視光、^[2]テラヘルツ放射^[3]）や流体表面波^[4]および地震波^[5]における前駆波パターンの観察によって確認されている。

先駆現象は、1914年にアルノルド・ゾンマーフェルトによって、通常の分散領域にある中性誘電体を伝搬する電磁波の場合について初めて理論的に予測されました。^[6]ゾンマーフェルトの研究はその後、レオン・ブリルアンによって拡張され、ブリルアンは鞍点近似を適用して関連する積分を計算しました。^[6]しかし、導波管内を伝搬するマイクロ波の場合に先駆現象が初めて実験的に確認されたのは1969年になってからであり、^[1]他の種類の波における先駆現象を観測する実験作業の多くは2000年以降に行われたばかりです。 この実験の遅れは主に、多くの状況で先駆現象の振幅が、先駆現象を生み出す信号よりもはるかに小さい（ブリルアンが示した基準値は6桁小さい）という事実によるものです。^[6]結果として、実験による確認は、先駆現象を検出できる技術が利用可能になってからしかできませんでした。

分散現象として、一次元に伝播する前駆波の任意の距離と時間における振幅は、フーリエ積分で表すことができます。

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi}}\int {\hat {\zeta}}_{0}(\omega )\exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]d\omega }$

ここで、 は初期インパルスのフーリエ変換であり、複素指数は積分で合計された個々のコンポーネントウェーブレットを表します。分散の影響を考慮するには、指数の位相に、波が伝播する特定の媒体の 分散関係(ここでは係数) を含める必要があります。${\displaystyle {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )}$${\displaystyle \exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]}$${\displaystyle k(\omega )}$

上記の積分は、以下のゾンマーフェルトの導出のように、初期インパルスと分散関係について理想的な仮定が行われた場合にのみ、閉じた形式で解くことができます。ほとんどの現実的なケースでは、積分を計算するために 数値積分が必要です。

初期インパルスが時刻に突然オンになる正弦波の形をとると仮定すると、 ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{rl}0&t<0\\\sin {\frac {2\pi t}{\tau }}&t\geq 0\end{array}}\right.,}$

すると、前の節で示した一般形の積分は次のように書ける。

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

簡単にするために、関係する周波数はすべて媒体の通常の分散の範囲内にあると仮定し、分散関係を次の形にします。

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}}$

ここで、は媒体中の原子振動子の数、は各振動子の電荷と質量、 は振動子の固有振動数、 は真空の誘電率である。これにより積分が得られる。 ${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \epsilon_{0}}$

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

この積分を解くには、まず時間を遅延時間 で表します。これは、解が より速く伝播することで因果律に違反しないようにするために必要です。また、を として扱い、 2次の項を考慮して 項を無視します。最後に を代入して、 ${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle |\omega |}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{2c}}x}$

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

これを書き直すと

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

そして代替品を作る

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

積分は次のように変換される。

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

ここで、は単なるダミー変数であり、最後に ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

ここで、は第一種ベッセル関数である。この解は、振幅と周期が時間とともに増加する振動関数であり、ゾンマーフェルト前駆体と呼ばれる特定のタイプの前駆体の特徴である。^[7]${\displaystyle J_{1}}$

定常位相近似は、上記の「基本理論」のセクションで示した一般形式の積分を解くことなく、前駆波の形状を分析するために使用できます。定常位相近似は、任意の距離と時間から決定される任意の波の伝播速度に対して、前駆波の優位周波数は、群速度が に等しい周波数であると述べています。 ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega _{D}}$${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

したがって、特定の距離と時間におけるプリカーサ波形のおおよその周期は、その距離と時間に到達する周波数成分の周期をその群速度に基づいて計算することによって決定できます。通常の分散領域では、高周波成分の群速度は低周波成分よりも速いため、プリカーサの前面は元のインパルスの最高周波数成分の周期に対応する周期を持つ必要があります。時間が経つにつれて、より低い周波数の成分が到着するため、プリカーサの周期は最低周波数成分が到着するまでどんどん長くなります。到着する成分が増えるにつれて、プリカーサの振幅も増加します。周期と振幅が増加することを特徴とする特定のタイプのプリカーサは、高周波ゾンマーフェルトプリカーサとして知られています。

低周波成分の群速度が高周波成分の群速度よりも速い異常分散領域では、上記の状況の逆のことが起こります。つまり、前駆現象の開始は長い周期で特徴付けられ、信号の周期は時間とともに減少します。このタイプの前駆現象は、低周波ゾンマーフェルト前駆現象と呼ばれます。

波動伝播の特定の状況（たとえば、流体表面波）では、2 つ以上の周波数成分が特定の周波数範囲で同じ群速度を持つ場合があります。これは通常、群速度曲線の局所的極値を伴います。つまり、特定の時間と距離の値では、プリカーサ波形は低周波数と高周波数の両方のゾンマーフェルトプリカーサの重ね合わせで構成されます。局所的極値は単一の周波数にのみ対応するため、これらのポイントでは一定周期のプリカーサ信号からの寄与があります。これはブリルアンプリカーサとして知られています。