プラントル-グラウエルト変換

プラントル-グラウエルト変換は、非圧縮性流れの計算方法によって特定の圧縮性流れの問題を解決できる数学的手法です。また、非圧縮性流れのデータを圧縮性流れのケースに適用することもできます。

細長い物体上の非粘性圧縮性流れは、線形化された圧縮性小擾乱ポテンシャル方程式によって支配される：^[1]

${\displaystyle \phi _{xx}+\phi _{yy}+\phi _{zz}=M_{\infty }^{2}\phi _{xx}\quad {\mbox{(流れ場内)}}}$

小さな擾乱の流れ接線境界条件とともに。

${\displaystyle V_{\infty }n_{x}+\phi _{y}n_{y}+\phi _{z}n_{z}=0\quad {\mbox{(体表面上)}}}$

${\displaystyle M_{\infty}}$は自由流マッハ数、およびは表面法線ベクトル成分です。未知の変数は摂動ポテンシャルであり、全速度はその勾配と、ここでは に沿うと仮定される自由流速度を加えた値で与えられます。 ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$${\displaystyle \phi (x,y,z)}$${\displaystyle V_{\infty}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {V}}=\nabla \phi +V_{\infty }{\hat {x}}=(V_{\infty }+\phi _{x}){\hat {x}} +\phi _{y}{\hat {y}}+\phi _{z}{\hat {z}}}$

上記の定式化は、小擾乱近似が適用される場合にのみ有効である。^[2]

${\displaystyle |\nabla \phi |\ll V_{\infty }}$

さらに、局所マッハ数が 1 を超えないという要件によって近似的に述べられる遷音速流は存在しません。

${\displaystyle \left[1+(\gamma +1){\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}\right]M_{\infty }^{2}$

プラントル・グラウエルト (PG) 変換では、プラントル・グラウエルト係数 を使用します。これは、すべてのy 次元とz次元、および迎え角を によるポテンシャルの係数で縮小し、法線ベクトルのx成分を によって縮小することで構成されます。 ${\displaystyle \beta \equiv {\sqrt {1-M_{\infty }^{2}}}}$${\displaystyle \beta ,}$${\displaystyle \beta ^{2},}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&=x\\{\bar {y}}&=\beta y\\{\bar {z}}&=\beta z\\{\bar {\alpha }}&=\beta \alpha \\{\bar {\phi }}&=\beta ^{2}\phi \end{aligned}}}$

このジオメトリの法線ベクトルの x 成分は、元の 法線ベクトルの 倍になります。${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{\bar {x}}&=\beta n_{x}\\{\bar {n}}_{\bar {y}}&=n_{y}\\{\bar {n}}_{\bar {z}}&=n_{z}\end{aligned}}}$

微小擾乱ポテンシャル方程式はラプラス方程式に変換される。

${\displaystyle {\bar {\phi }}_{{\bar {x}}{\bar {x}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {y}}{\bar {y}}}+{\bar {\phi }}_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\quad {\mbox{(in flow field)}}}$

流れ接線境界条件は同じ形式を保持します。

${\displaystyle V_{\infty }{\bar {n}}_{\bar {x}}+{\bar {\phi }}_{\bar {y}}{\bar {n}}_{\bar {y}}+{\bar {\phi }}_{\bar {z}}{\bar {n}}_{\bar {z}}=0\quad {\mbox{(on body surface)}}}$

これは、変換された形状に関する非圧縮ポテンシャルフローの問題です。これは、薄い翼型理論、渦格子法、パネル法などの非圧縮法によって解くことができます。結果は、変換された摂動ポテンシャルまたはその変換された空間の勾配成分です。次に、逆変換によって物理的に線形化された圧力係数が得られます。 ${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$${\displaystyle {\bar {\phi }}}$${\displaystyle {\bar {\phi }}_{\bar {x}},{\bar {\phi }}_{\bar {y}},{\bar {\phi }}_{\bar {z}}}$

${\displaystyle C_{p}=-2{\frac {\phi _{x}}{V_{\infty }}}=-{\frac {2}{\beta ^{2}}}{\frac {{\bar {\phi }}_{\bar {x}}}{V_{\infty }}}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\bar {C}}_{p}}$

これはゲーテルトの法則として知られている^[3]

2次元の流れの場合、最終的な結果は次のようになり、また揚力係数とモーメント係数は係数 だけ増加します。 ${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle c_{l},c_{m}}$${\displaystyle 1/\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {C_{p0}}{\beta }}\\c_{l}&={\frac {c_{l0}}{\beta }}\\c_{m}&={\frac {c_{m0}}{\beta }}\end{aligned}}}$

ここで、は元の（スケールされていない）ジオメトリの非圧縮性流れの値です。この2Dのみの結果はプラントル則として知られています。^[4]${\displaystyle C_{p0},c_{l0},c_{m0}}$${\displaystyle xyz}$

3次元の流れの場合、これらの単純なスケーリングは適用されません。代わりに、上記のようにスケールされたジオメトリを使用して、Göthertの規則を使用して を計算し、続いて力とモーメントを計算する必要があります。特別な場合を除いて、単純な結果は得られません。たとえば、平らな楕円翼に揚力線理論を使用すると、揚力係数は次のようになります 。${\displaystyle 1/\beta }$${\displaystyle {\bar {x}}{\bar {y}}{\bar {z}}}$${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{L}={\frac {2\pi \alpha }{\beta +2/AR}}}$

ここで、ARは翼のアスペクト比です。AR → ∞ の 2D ケースでは、これは 2D ケースに簡約されることに注意してください。これは、平坦な翼型の非圧縮 2D フローでは、薄翼理論によって与えられるとおりになるからです。 ${\displaystyle c_{l0}=2\pi \alpha ,}$

PG変換は、0.7程度までの自由流マッハ数、または遷音速流が現れ始めるまでのすべての自由流マッハ数に対して有効に機能します。^[2]

圧縮性研究への関心は、第一次世界大戦後、航空機のプロペラの先端が M=0.8 に達し始めたときに生まれました。ルートヴィヒ・プラントルは1922 年頃に講義でこの変換を教えていましたが、最初の厳密な証明は 1928 年にヘルマン・グラウエルトによって発表されました。^[5]この関係式の導入により、より高亜音速の領域で運航できる航空機の設計が可能になりました。^[6]もともと、これらすべての結果は 2D フローを対象に開発されました。1946 年にゲーテルトは、PG 変換によって引き起こされる幾何学的歪みにより、単純な 2D プラントル則が 3D では無効になることにようやく気づき、上記のように 3D の問題全体を適切に述べました。

PG 変換は、 1925 年にJakob Ackeretによって超音速自由流に拡張されました。亜音速の場合と同様に、超音速の場合は遷音速効果がない場合にのみ有効であり、遷音速効果には、物体が細長く、自由流マッハが 1 より十分に大きいことが必要です。

音速付近では、PG 変換は特異点を示します。この特異点はプラントル・グラウエルト特異点とも呼ばれ、流れの抵抗は無限大に近づくように計算されます。実際には、空力および熱力学の摂動は音速付近で大きく増幅されますが、特異点は発生しません。この理由としては、上記の線形化された小擾乱ポテンシャル方程式は有効ではないことが挙げられます。この方程式では、流れ内のマッハ数にわずかな変化しかなく、圧縮衝撃がないものと仮定しているため、特定の非線形項が欠落しています。ただし、流れ場のどの部分でも音速を超えて加速するとすぐに、これらの項が関連し、 付近では不可欠になります。より正確な非線形方程式では、特異点が発生しません。 ${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1}$${\displaystyle M_{\infty }\simeq 1.}$

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