パスカルのピラミッド

数学において、パスカルのピラミッドは、三項式展開と三項分布の係数である三項数の3次元配置です。^[1]パスカルのピラミッドは、二項数を含み、二項式展開と二項分布に関連する2次元のパスカルの三角形の3次元版です。二項数と三項数、係数、展開、分布は、同じ名前の多項式構成のサブセットです。

四面体の構造

四面体は 3 次元オブジェクトであるため、紙、コンピュータ画面、またはその他の 2 次元媒体に表示することは困難です。四面体がいくつかのレベル、フロア、スライス、またはレイヤーに分割されていると仮定します。最上位レイヤー (頂点) には「レイヤー 0」というラベルが付けられています。他のレイヤーは、前のレイヤーを取り除いた四面体の俯瞰図と考えることができます。最初の 6 つのレイヤーは次のとおりです。

四面体の層は、パスカルの三角形と個別に混同されないように、意図的に点を下にして表示されています。

四面体の概要

各層の数字は3方向対称です。
n^番目の層の項の数は( n +1)^番目の三角数です: ⁠ ⁠ ${\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ 。
n^番目の層の数字の値の合計は3 ⁿです。
どの層でも、それぞれの数字は、その上の層にある 3 つの隣接する数字の合計です。
どのレイヤー内の各数字も、同じレイヤー内の隣接する数字の単純な整数比です。
どの層でも、それぞれの数字は三項分布と三項展開の係数です。この非線形配置により、次のことが容易になります。
- 三項式展開を首尾一貫した方法で表示する。
- 三項分布の係数を計算する。
- 任意の四面体層の数を計算します。
n^番目の層の 3 つの辺に沿った数字は、パスカルの三角形のn^番目の線の数です。そして、上に挙げたほとんどすべての特性は、パスカルの三角形や多項式係数と類似しています。

三項式展開接続

四面体の数は三項式展開から導かれます。n番目^{の層は、三項式 (例:}A + B + C ) のn^乗の分離された係数行列 (変数や指数なし) です。三項式のn乗^は、三項式をそれ自体で繰り返し乗算することによって展開されます。

(A+B+C)(A+B+C)^{n}=(A+B+C)^{n+1}

最初の式の各項を 2 番目の式の各項で乗算し、次に同じ項 (同じ変数と指数) の係数を加算します。以下は ( A + B + C ) ⁴の展開です。

1 A ⁴B ⁰C ⁰ + 4 A ³B ⁰C ¹ + 6 A ²B ⁰C ² + 4 A ¹B ⁰C ³ + 1 A ⁰B ⁰C ⁴ +

4 A ³B ¹C ⁰ + 12 A ²B ¹C ¹ + 12 A ¹B ¹C ² + 4 A ⁰B ¹C ³ +
6 A ²B ²C ⁰ + 12 A ¹B ²C ¹ + 6 A ⁰B ²C ² +
4 A ¹B ³C ⁰ + 4 A ⁰B ³C ¹ +

1 A ⁰B ⁴C ⁰

この非線形な方法で展開を記述すると、展開がより理解しやすくなります。また、四面体との関連も明らかになります。ここでの係数はレイヤー 4 の係数と一致します。通常は記述されないすべての暗黙の係数、変数、指数も、四面体との別の関係を示すために示されています (通常、「1 A」は「A」、「B ¹」は「B」、「C ⁰」は「1」など)。各項の指数を合計すると、レイヤー番号 ( n )、この場合は 4 になります。さらに重要なことは、各項の係数の値が指数から直接計算できることです。式は $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}次のとおりです。( x + y + z )!/x ! y ! z !⁠$ 、ここでx、y、z はそれぞれA、B、Cの指数であり、「!」は階乗です。つまり、 4 番目のレイヤーの指数式は次のとおりです。 $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$

各展開項の指数は明確に確認でき、これらの式はレイヤー 4 の展開係数と四面体係数に簡略化されます。

三項分布接続

四面体の数は、三項分布にも見られます。これは、3 つの可能な結果が与えられた場合に、いくつかのイベントの組み合わせが発生する可能性を決定するために使用される離散確率分布です。イベントが発生する可能性のある方法の数に、イベントが発生する確率を掛けます。三項分布の式は次のとおりです。

{\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B})^{y}(P_{C})^{z}

ここで、x、y、z は、 3 つの結果がそれぞれ発生する回数です。nは試行回数で、 x+y+z の合計に等しくなります。P A、_P B 、_P Cは_、 3 つのイベントのそれぞれが発生する確率です。

たとえば、3 者による選挙で、候補者が獲得した票数は、A が 16 %、B が 30 %、C が 54 % だったとします。ランダムに選ばれた 4 人のフォーカスグループに、A に 1 人、B に 1 人、C に 2 人の投票者が含まれる可能性はどれくらいでしょうか。答えは次のとおりです。

{\frac {4!}{1!1!2!}}(16\,\%)^{1}(30\,\%)^{1}(54\,\%)^{2}=12\cdot 0.0140=17\,\%

12 という数字はこの確率の係数であり、この「112」のフォーカスグループを埋めることができる組み合わせの数です。選択できる 4 人フォーカスグループの配置は 15 種類あります。これら 15 個の係数の式は次のとおりです。

$\textstyle {4! \over 4!\cdot 0!\cdot 0!}\ {4! \over 3!\cdot 0!\cdot 1!}\ {4! \over 2!\cdot 0!\cdot 2!}\ {4! \over 1!\cdot 0!\cdot 3!}\ {4! \over 0!\cdot 0!\cdot 4!}$

$\textstyle {4! \over 3!\cdot 1!\cdot 0!}\ {4! \over 2!\cdot 1!\cdot 1!}\ {4! \over 1!\cdot 1!\cdot 2!}\ {4! \over 0!\cdot 1!\cdot 3!}$

$\textstyle {4! \over 2!\cdot 2!\cdot 0!}\ {4! \over 1!\cdot 2!\cdot 1!}\ {4! \over 0!\cdot 2!\cdot 2!}$

$\textstyle {4! \over 1!\cdot 3!\cdot 0!}\ {4! \over 0!\cdot 3!\cdot 1!}$

$\textstyle {4! \over 0!\cdot 4!\cdot 0!}$

これらの分数の分子 (線の上) は、すべての表現で同じです。これはサンプルサイズ (4 人グループ) であり、これらの配置の係数が四面体のレイヤー 4 にあることを示しています。分母の 3 つの数字 (線の下) は、それぞれ A、B、C に投票したフォーカスグループメンバーの数です。

略語は通常、次の「選択」形式（「4 選択 4、0、0」などと読みます）で組み合わせ関数を表現するために使用されます。

$\textstyle {4 \choose 4,0,0}\ {4 \choose 3,0,1}\ {4 \choose 2,0,2}\ {4 \choose 1,0,3}\ {4 \choose 0,0,4}$

$\textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}$

$\textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ {4 \choose 0,2,2}$

$\textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}$

$\textstyle {4 \choose 0,4,0}$

しかし、これらの式の値は、依然として四面体の第 4 層の係数に等しく、サンプルサイズ ( n ) を変更することで任意の層に一般化できます。

この表記法は、層nのすべての係数の合計を簡単に表現する方法を提供します。

\textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}

。

層間の係数の加算

四面体の各層 ( n )の数字は、その「上の」層 ( n −1)の隣接する 3 つの数字の合計です。この関係は、層を混ぜ合わせないとわかりにくいです。以下は、太字の層 4 の数字の間に斜体の層 3 の数字が交互に表示されています。

この関係は、第 4 層の中央下部の数字 12 で示されています。この数字は、第 3 層の 3 つの数字に「囲まれて」います。つまり、「北」に 6、「南西」に 3、「南東」に 3 です。(端に沿った数字は、「上」の層に隣接する数字が 2 つだけあり、角の 3 つの数字は、上層に隣接する数字が 1 つだけであるため、常に「1」になります。欠けている数字は「0」と見なすことができるため、一般性が失われることはありません。) 隣接する層間のこの関係は、2 段階の三項式展開プロセスによって生じます。

この例を続けると、ステップ 1 では、 ( A + B + C ) ³の各項が( A + B + C ) ¹の各項で乗算されます。この例では、これらの乗算のうち 3 つだけが重要です。

次にステップ 2 で、同類項 (同じ変数と指数) の合計は 12 A ¹B ²C ^{1となり、これは (}A + B + C ) ⁴の項です。12 は四面体の 4 番目の層の係数です。

記号的に、加法関係は次のように表すことができます。

C(x,y,z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)

ここで、C( x,y,z ) は指数x、y、zを持つ項の係数であり、⁠ ⁠ は $x+y+z=n$ 四面体の層です。

この関係は、「三項式展開接続」のセクションで説明されているように、三項式展開が非線形形式で配置されている場合にのみ機能します。

同じ層の係数の比率

四面体の各層では、数字は隣接する数字の単純な整数比です。この関係は、4 番目の層で水平に隣接するペアについて次のように示されます。

1 ⟨1:4⟩ 4 ⟨2:3⟩ 6 ⟨3:2⟩ 4 ⟨4:1⟩ 1
4 ⟨1:3⟩ 12 ⟨2:2⟩ 12 ⟨3:1⟩ 4
6 ⟨1:2⟩ 12 ⟨2:1⟩ 6
4 ⟨1:1⟩ 4
1

四面体は 3 方向の対称性を持つため、比率関係は、示されている水平ペアだけでなく、両方向の対角ペアにも適用されます。

比率は、三項式展開の対応する隣接項の指数によって制御されます。たとえば、上の図の 1 つの比率は次のとおりです。

4 ⟨1:3⟩ 12

三項展開の対応する項は次のとおりです。

$4A^{3}B^{1}C^{0}$ そして $12A^{2}B^{1}C^{1}$

三項展開のすべての隣接する項の係数には、次の規則が適用されます。

変数の 1 つの指数 (この場合はB ) は変更されないため、無視できます。
他の 2 つの変数については、1 つの指数が 1 増加し、1 つの指数が 1 減少します。
- Aの指数は3 と 2 です (大きい方が左の項にあります)。
- Cの指数は0 と 1 です (大きい方が右側の項になります)。
係数と大きな指数は関連しています:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4 / 12 = 1 / 3
これらの式から比率は「1:3」になります。

ルールは水平および対角のすべてのペアで同じです。変数A、B、C は変化します。

この比率関係は、四面体係数を計算する別の（やや面倒な）方法を提供します。

隣接項の係数は、現在の項の係数に減少変数の現在の項の指数を掛け、増加変数の隣接項の指数で割ったものに等しくなります。

隣接する係数の比率は、記号で表現すると少し明確になります。各項は最大 6 つの隣接する項を持つことができます。

x = 0の場合:

C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}

y = 0の場合: $C(x-1,y,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{x}}$

z = 0の場合: $C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x-1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}$

ここで、C( x,y,z ) は係数、x、y、zは指数です。ポケット電卓やパソコンが登場する前の時代には、この方法は、面倒な代数展開や面倒な階乗計算をせずに二項展開を書き出すための学生の近道として使われていました。

この関係は、「三項式展開接続」のセクションで説明されているように、三項式展開が非線形形式で配置されている場合にのみ機能します。

パスカルの三角形との関係

^四面体のn番目の層の 3 つの外側の辺に沿った数字が、パスカルの三角形のn^番目の線と同じ数字であることはよく知られています。ただし、この関係は実際には数字の 1 列よりもはるかに広範囲にわたります。この関係は、パスカルの三角形の 4 番目の線までを四面体の 4 番目の層と比較することで最もよく説明されます。

パスカルの三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

四面体層 4
1 4 6 4 1
4 12 12 4
6 12 6
4 4
1

パスカルの三角形の各行の数字をn^行目まで掛け合わせると、四面体のn^層目が生成されます。次の例では、パスカルの三角形の行は斜体フォントで、^四面体の行は太字フォントで示されています。^[2]

1

× 1 =
1

1 1
× 4 =
4 4

1 2 1
× 6 =
6 12 6

1 3 3 1
× 4 =
4 12 12 4

1 4 6 4 1
× 1 =

1 4 6 4 1

乗数 (1 4 6 4 1) はパスカルの三角形の 4 行目を構成します。

この関係は、すぐに膨大な数になる階乗を計算せずに、四面体の任意の層の数値を計算する最も高速で簡単な方法を示しています。(拡張精度の計算機は、四面体層 200 を超えると非常に遅くなります。)

パスカルの三角形の係数が C( i,j ) とラベル付けされ、四面体の係数が C( n,i,j ) とラベル付けされている場合、ここでnは四面体の層、iは行、jは列であり、関係は記号で次のように表すことができます。

C(i,j)\times C(n,i)=C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i

[ i、j、n はここでは指数ではなく、単なる連続したラベル付けインデックスです。]

パスカルの三角形と多項式係数との類似点

この表は、三項展開と三項分布の特性をまとめたものです。二項展開と多項展開および分布と比較しています。

^1 単体は、あらゆる次元に存在する最も単純な線形幾何学形状です。四面体と三角形は、それぞれ 3 次元と 2 次元の例です。
^2 二項係数の式は通常次のように表される⁠ん！/x !( n − x )!⁠、ここでn − x = y。

その他のプロパティ

指数関数的構築

任意のレイヤーn は、次の式を使用して 1 つのステップで取得できます。

\left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n},

ここで、bは基数、dは中心多項式係数の桁数であり、

\textstyle d=1+\left\lfloor \log _{b}{n \choose k_{1},k_{2},k_{3}}\right\rfloor ,\ \sum _{i=1}^{3}{k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil ,

結果の数字をd（n +1）で折り返し、dだけ間隔を空けて先頭のゼロを削除します。

任意の次元に一般化されたこの方法は、任意のパスカルの単体のスライスを取得するために使用できます。

例

基数b = 10、n = 5、d = 2の場合:

\textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}

= 1000000000101 ⁵
= 1000000000505000000102010000010303010000520302005010510100501

              1 1 1
   000000000505 00 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5
   000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10
~ 000010303010 ~ 00 00 10 30 30 10 ~ .. .. 10 30 30 10
   000520302005 00 05 20 30 20 05 .. .5 20 30 20 .5
   010510100501 01 05 10 10 05 01 .1 .5 10 10 .5 .1
d(n+1)
 で折り返され、 d     の間隔で      先頭のゼロが削除される

基数b = 10、n = 20、d = 9の場合:

\textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\right)^{20}

パスカルのピラミッド層 #20。

行ごとの層の係数の合計

パスカルのピラミッドの各層nの行の数を合計すると、

\left(b^{d}+2\right)^{n},

ここで、bは基数、d は「中央」の行 (合計が最大となる行) の合計の桁数です。

基数b = 10の場合:

1～1 \1～1 \1～1 \1～1 \1～1
--- 1 \ 1 ～ 02 \ 2 \ 2 ～ 04 \ 3 \ 3 ～ 06 \ 4 \ 4 ～ 08
 1 ----- 1 \ 2 \ 1 ～ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ～ 12 \ 6 \12 \ 6 ～ 24
         1 02 --------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \12 \12 \ 4 ~ 32
                    1 04 04 ------------- 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ～ 16
                                    1 06 12 08 ------------------
                                                           1 08 24 32 16

102 ⁰       102 ¹         102 ²                102 ³                      102 ⁴

列ごとの層の係数の合計

パスカルのピラミッドの各層nの列の数字を合計すると、

\left(b^{2d}+b^{d}+1\right)^{n},

ここで、bは基数、d は「中央」の列 (合計が最大となる列) の合計の桁数です。

基数b = 10の場合:

1 |1| |1| |1| | 1| | 1|
--- 1| |1 |2| |2| |3| |3| | 4| | 4| | 5| | 5|
 1 ----- 1| |2| |1 |3| |6| |3| | 6| |12| | 6| |10| |20| |10|
      1 1 1 --------- 1| |3| |3| |1 | 4| |12| |12| | 4| |10| |30| |30| |10|
              1 2 3 2 1 ------------- 1| | 4| | 6| | 4| | 1 | 5| |20| |30| |20| | 5|
                           1 3 6 7 6 3 1 ------------------------ 1| | 5| |10| |10| | 5| | 1
                                              1 04 10 16 19 16 10 04 01 --------------------------------
                                                                             1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01

111 ⁰    111 ¹       111 ²            111 ³                     10101 ⁴                              10101 ⁵

使用法

遺伝学では、パスカルのピラミッドを使用して、同じ交配における異なる遺伝子型間の比率を調べるのが一般的です。これは、表現型の数 (遺伝子型 + 1) に相当する線を調べることによって行われます。その線が比率になります。^{[さらに説明が必要]}

参照

参考文献

^ Staib, J.; Staib, L. (1978). 「パスカルピラミッド」.数学教師. 71 (6): 505–510. doi :10.5951/MT.71.6.0505. JSTOR 27961325.
^ ペダーセン、ジーン、ヒルトン、ピーター、ホルトン、デレク (2002)。数学の眺望：窓の多い部屋から。ニューヨーク、NY [ua]：シュプリンガー。ISBN 978-0387950648。

外部リンク

フラットランドを超えて: 21 世紀の幾何学。パート I: パスカルの四面体
パスカルのピラミッドかパスカルの四面体か?
パスカルの単体

[Staib1978-1] Staib, J.; Staib, L. (1978). 「パスカルピラミッド」.数学教師. 71 (6): 505–510. doi :10.5951/MT.71.6.0505. JSTOR 27961325.

[2] ペダーセン、ジーン、ヒルトン、ピーター、ホルトン、デレク (2002)。数学の眺望：窓の多い部屋から。ニューヨーク、NY [ua]：シュプリンガー。ISBN 978-0387950648。