パルタサラシーの定理

数学、特に単位正方形上のゲームの研究において、パルタサラシーの定理はフォン・ノイマンのミニマックス定理の一般化です。これは、少なくとも 1 人のプレイヤーがルベーグ測度に関して絶対連続分布に制限された戦略を持っている場合(つまり、プレイヤーの 1 人が純粋戦略を使用することが禁止されている場合)、特定のクラスのゲームが混合値を持つことを示しています。

この定理はThiruvenkatachari Parthasarathyに帰せられます。

および は単位区間を表し、 はにおける確率分布の集合を表します( も同様に定義されます)。 はにおける絶対連続分布の集合を表します( も同様に定義されます)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{Y}}$${\displaystyle A_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{Y}}$

が単位正方形上で有界であり、 が連続関数である（）の形の曲線の有限個を除いて連続であるとする。 に対して、定義する。 ${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):0\leq x,y\leq 1\}}$${\displaystyle k(x,y)}$${\displaystyle y=\phi _{k}(x)}$${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$${\displaystyle \phi _{k}(x)}$${\displaystyle \mu \in M_{X},\lambda \in M_{Y}}$

${\displaystyle k(\mu ,\lambda )=\int _{y=0}^{1}\int _{x=0}^{1}k(x,y)\,d\mu (x) \,d\lambda (y)=\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}k(x,y)\,d\lambda (y)\,d \mu (x)。}$

それから

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in A_{Y}}k(\mu ,\lambda )=\inf _ {\lambda \in A_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )。}$

これは、 によって誘導されるゲームには価値があるという主張と同等です。 1 人のプレーヤー ( WLOG ) が純粋な戦略を使用することは禁止されていることに注意してください。 ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle Y}$

パルタサラシーは、

${\displaystyle \max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}\,\inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}k(\mu , \lambda )\neq \inf _{\lambda \in {\mathcal {M}}_{Y}}\,\max _{\mu \in {\mathcal {M}}_{X}}k(\mu ,\lambda )}$

したがって、これは価値がありません。この場合、どちらのプレイヤーも絶対連続分布に制限されないため、矛盾はありません（そして、ゲームに価値がないことを証明するには、両方のプレイヤーが純粋な戦略を使用する必要があります）。

• T. Parthasarathy 1970. 単位正方形上のゲームについて、SIAM、第19巻、第2号。