ペア分布関数

ペア分布関数は、与えられた体積内に含まれる粒子のペア間の距離の分布を表します。^[1]数学的には、aとbが2つの粒子である場合、 aに関するbのペア分布関数は、aを座標の原点として 、aからの距離にある粒子bを見つける確率です。${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$${\displaystyle {\vec {r}}}$

ペア分布関数は、媒体内のオブジェクトの分布を記述するために使用されます (たとえば、木箱内のオレンジやガスボンベ内の窒素分子)。媒体が均質である場合 (つまり、すべての空間位置が同一の特性を持つ場合)、任意の位置でオブジェクトが見つかる確率密度は等しくなります。 ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$、

ここで、は容器の容積です。一方、特定の位置で物体のペアが見つかる確率(つまり、2 体確率密度) は均一ではありません。たとえば、硬いボールのペアは、少なくともボールの直径だけ離れている必要があります。ペア分布関数は、2 体確率密度関数を物体の総数と容器のサイズでスケーリングすることによって得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$。

コンテナ内のオブジェクトの数が多い一般的なケースでは、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\about p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$。

最も単純なペア分布関数は、すべてのオブジェクトの位置が相互に独立していると仮定し、次のようになります。

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$、

ここで、は一対の物体間の距離です。しかし、これは、上で述べたように、硬い物体の場合、物体間の最小距離を考慮していないため、不正確です。穴補正 (HC) 近似は、より優れたモデルを提供します。 ${\displaystyle {\vec {r}}}$

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

ここで、 はオブジェクトの 1 つの直径です。 ${\displaystyle b}$

HC 近似は、まばらに詰まった物体については妥当な説明を与えますが、密に詰まった物体については当てはまりません。これは、各ボールが隣のボールと接触するように完全に同一の硬球で満たされた箱を考えれば説明できます。この場合、箱の中のボールのペアはすべて、ちょうど の距離で分離されます。ここで は正の整数です。したがって、硬球で完全に満たされた体積のペア分布は、次の形式の ディラック デルタ関数のセットになります。${\displaystyle r=nb}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$。

最後に、大きな距離で隔てられた一対の物体は、互いの位置に影響を与えない（容器が完全に満たされていない限り）ことに注意する必要がある。したがって、

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$。

一般に、ペア分布関数は、充填密度に応じて、疎充填モデル（HC近似）と密充填モデル（デルタ関数）の間の形をとります。 ${\displaystyle f}$

実用上特に重要なのは、方位に依存しない動径分布関数です。これは、非晶質材料（ガラス、ポリマー）および液体の原子構造の主要な記述子です。動径分布関数は、フーリエ変換を実行することにより、光散乱や粉末X線回折などの物理的測定から直接計算できます。

統計力学ではPDFは次の式で与えられる。

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _ {j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

電子デバイスのように薄膜が無秩序な場合、ペア分布を使用してその材料または組成物の歪みと構造特性を表示します。これらの特性は、バルクまたは結晶形式では利用できません。無秩序な薄膜の局所構造を表示できる放射状分布を使用する方法があります。しかし、この方法の作成者は、無秩序な膜の中間範囲の秩序を表示するためのより優れた方法が必要であると訴えました。薄膜ペア分布関数 (tfPDF) の作成では、材料の中間範囲の秩序の統計分布を使用して、無秩序などの重要な詳細を表示できるようにします。この手法では、散乱法からの 2D データが統合され、フーリエ変換されて、その材料の結合の確率を示す 1D データに変換されます。TfPDF は、透過型電子顕微鏡などの他の特性評価方法と組み合わせると最も効果的に機能します。開発中の方法ではありますが、tfPDF は信頼性の高い特性評価技術を通じて完全な構造と特性の関係を提供できます。 ${\displaystyle {\ce {GeSe2}}}$

• 古典写像ハイパーネット連鎖法

フィッシャー＝コルブリー、ビーネンシュトック、フオス、マーカス。物理学。 Rev. B (1988) 38、12388

ジェンセン、KM、ビリンジ、SJ (2015)。 IUCrJ、2(5)、481-489。