格子分離

数学、特に順序論と関数解析において、ベクトル格子Xの2 つの要素xとyが格子互いに素または単に互いに素であるとは、 の場合 と書き、xの絶対値は と定義されます。^[1] 2 つの集合AとBが格子互いに素または互いに素であるとは、すべてのaがAに含まれ、すべてのb がBに含まれる場合にaとbが互いに素であると言い、その場合は と書きます。^[2] A が単独集合である 場合はの代わりに と書きます。任意の集合Aに対して、互いに素な補集合を集合 と定義します。^[2] ${\displaystyle \inf \left\{|x|,|y|\right\}=0}$${\displaystyle x\perp y}$${\displaystyle |x|:=\sup \left\{x,-x\right\}}$${\displaystyle A\perp B}$${\displaystyle \{a\}}$${\displaystyle a\perp B}$${\displaystyle \{a\}\perp B}$${\displaystyle A^{\perp }:=\left\{x\in X:x\perp A\right\}}$

2 つの要素xとy が互いに素である場合、かつ の場合に限ります。xとyが互いに素である場合、かつ であり、任意の要素zに対して、かつです。 ${\displaystyle \sup\{|x|,|y|\}=|x|+|y|}$${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|}$${\displaystyle \left(x+y\right)^{+}=x^{+}+y^{+}}$${\displaystyle z^{+}:=\sup \left\{z,0\right\}}$${\displaystyle z^{-}:=\sup \left\{-z,0\right\}}$

互いに素な補集合は常にバンドであるが、その逆は一般には成り立たない。Aがが存在するようなXのサブセットであり、B がAと互いに素なX内のサブセット格子である場合、Bは と互いに素な格子である。^[2]${\displaystyle x=\sup A}$${\displaystyle \{x\}}$

X内の任意のxに対して、およびとします。ただし、これらの要素は両方とも、およびであり、であることに注意してください。このとき、およびは互いに素であり、は、互いに素な要素の差としてのxの一意の表現です。^[2] X内のすべてのxおよびy に対して、およびです。^[2] y ≥ 0かつx ≤ y の場合、x ⁺ ≤ yです。さらに、およびの場合に限ります。^[2]${\displaystyle x^{+}:=\sup \left\{x,0\right\}}$${\displaystyle x^{-}:=\sup \left\{-x,0\right\}}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}}$${\displaystyle x^{+}}$${\displaystyle x^{-}}$${\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle \left|x^{+}-y^{+}\right|\leq |xy|}$${\displaystyle x+y=\sup\{x,y\}+\inf\{x,y\}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x^{+}\leq y^{+}}$${\displaystyle x^{-}\leq x^{-1}}$

• ソリッドセット
• 局所凸ベクトル格子
• ベクトル格子

• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 3. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.