小野の不等式

数学において、小野の不等式はユークリッド平面上の三角形に関する定理である。 1914年に小野藤太によって予想された元の形では、この不等式は実際には偽である。しかし、 1916年にF.バリトランによって示されたように、 鋭角三角形についてはこの命題は真である。

ユークリッド平面上の、辺の長さがa、b、c、面積がSである鋭角三角形（3つの鋭角を持つ三角形）を考えます。

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4S)^{6}.}$

この不等式は、反例で示されるように、一般の三角形（小野の元々の予想が適用される）では成り立たない。 ${\displaystyle a=2,\,\,b=3,\,\,c=4,\,\,S=3{\sqrt {15}}/4.}$

不等式は、相似まで辺と面積が等しい正三角形の場合に等式と一致する。${\displaystyle 1,1,1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

不等式の両辺を で割ると、次のようになります。 ${\displaystyle 64(abc)^{4}}$

${\displaystyle 27{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}}{4b^{2}c^{2}}}{\frac {(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}}{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}\leq {\frac {4S^{2}}{b^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}c^{2}}}{\frac {4S^{2}}{a^{2}b^{2}}}}$

三角形の面積の公式を使用し、左辺に 余弦定理を適用すると、次のようになります。${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}bc\sin {A}}$

${\displaystyle 27(\cos {A}\cos {B}\cos {C})^{2}\leq (\sin {A}\sin {B}\sin {C})^{2}}$

そして、ユークリッド平面内のすべての三角形に当てはまる恒等式を使用して、上記の不等式を次のように変換します。 ${\displaystyle \tan {A}+\tan {B}+\tan {C}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}}$

${\displaystyle 27(\tan {A}\tan {B}\tan {C})\leq (\tan {A}+\tan {B}+\tan {C})^{3}}$

三角形の角は鋭角なので、各角の接線は正であり、AM-GM不等式により上記の不等式は正しいことがわかります。

• 三角不等式の一覧

• バリトランド、F. (1916)。 「問題4417」。インターメド。数学。 23：86～87。JFM  46.0859.06。
• 小野 孝 (1914) 「問題 4417」インテルメッド数学21 : 146。
• Quijano, G. (1915). 「問題 4417」.インテルメッド. 数学. 22 : 66.
• ルカレフスキー、M. (2017)。 「ゲレッツェンの不等式の別の証明」。エレム。数学。 72 : 2-8.

• Weisstein、Eric W.「小野不等式」。MathWorld。