3分の1仮説

3分の1仮説（OTH）は、サブグループが全人口の3分の1に近づくにつれてその重要性が増し、その数を超えると重要性が減ると主張する社会力学理論です。これは、1967年に 社会学者ヒューゴ・O・エンゲルマンがアメリカ社会学者宛ての手紙の中で初めて述べました。

「...どのグループでも最も持続的なサブグループは、グループ全体の 3 分の 1 に近いか、同様の理由から、3 分の 1 の倍数 (つまり 3 分の 1 の累乗) を占めるグループであると予想されます。最も持続的なグループであるため、これらのグループは進行中の社会文化的変革に最も大きく関与しているグループでもあるはずです。これは、これらのグループが支配的である必要があるという意味ではありませんが、重要な役割を果たしていることを意味します。」^[1]

OTH には 2 つの数学的曲線が含まれます。1 つは、特定のサイズのサブグループが出現する可能性を表します。もう 1 つは、それが存続する確率を表します。これら 2 つの曲線の積は、3 分の 1 仮説の予測と一致します。

統計的に言えば、人口の3分の1の集団が最も存続する可能性が高く、3分の2の集団は、3分の1の集団の凝集性に反応するかのように、分裂する可能性が高い。

二項係数によれば、サイズ r のグループは、サイズ n の集団に 通り存在します。サイズ r の各グループは2 ^{r 個の}サブグループに分解できるため、サイズ r のすべてのグループが出現および分解する方法の総数は3 ⁿとなり、合計は次の式と一致します。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}}$  

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{r=0}^{\infty }{n \choose r}x^{r}.\qquad }$

言い換えれば、人口の 3 分の 2 近くを占める大規模な集団は、他の集団よりも分裂して分裂する可能性が高くなります。この考察から当然の帰結として、はるかに小規模な集団が出現し存続する可能性が最も高くなります。

r の大きさのグループが の確率で発生し、 の確率でサブグループに分解される場合、方程式は に簡約され、p と q がそれぞれ 1/2 に等しいとすると、エンゲルマンの 3 分の 1 仮説は容易に導き出されます。これは次の形式をとります。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{nr}\!}$${\displaystyle q^{r}\!}$${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}p^{r}q^{n}\!}$

${\displaystyle {\tbinom {n}{r}}/2^{n+r}\!}$、

ここで、n は人数、r はグループのサイズであり、大きな数値の場合はスターリングの近似式を使用して検証できます。

OTH の完璧な例は、ウェイン・ヤングクイストの 1968 年の著書「木の靴と 3 分の 1 の仮説」で、 1 世紀ちょっと前のミルウォーキーのドイツ人人口を記録したものだ。ドイツ人が市の人口の 3 分の 1 に近づくにつれて、彼らはますます目立つようになった。そのレベルを超えると、彼らの重要性は低下し始めた。^[2]

エンゲルマンのOTHの最初の実証的テストは、 1967年のデトロイト暴動の形で行われました。このテストは暴動の原因を説明するものではなく、暴動のタイミングを説明することを目的としていました。^[1]

サム・バトラーは2011年にロンドン暴動とその原因の分析の中でエンゲルマンと3分の1仮説を明確に引用した。^[3]

OTH には常に批判がつきものです。KS Srikantan は初期に p と q がそれぞれ 1/2 に等しいという仮定に正しく疑問を呈しました。^[4]ただし、たとえそうでなかったとしても、p + q = 1 である限り、r の最大値は pn/(1+p) で発生します。出現して存続する可能性が最も高いグループは、常に人口の半分よりも小さくなります。

社会力学では、 OTH は臨界質量と呼ばれることがあります。この用語は適切ではあるものの、OTH をまったく示唆しないさまざまな方法で「臨界質量」が使用されているため、あいまいになっています。同様に、OTH は 3 分の 2 理論と呼ばれることもあります。

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