ノビコフ氏の状態

確率論において、ノビコフの条件は、ギルサノフの定理におけるラドン・ニコディム導関数の形をとる確率過程がマルチンゲールとなるための十分条件である。他の条件とともに満たされる場合、ギルサノフの定理はブラウン運動の確率過程に適用され、元の測度からラドン・ニコディム導関数によって定義される新しい測度に変化することができる。

この条件はアレクサンダー・ノビコフによって提案され、証明されました。ラドン・ニコディム導関数がマルチンゲールであることを示すために使用できる結果は他にもあり、より一般的な基準であるカザマキの条件などがありますが、ノビコフの条件が最もよく知られている結果です。

は確率空間上の実数値適応過程であり、適応ブラウン運動であると仮定する ：^{[1] ：334}${\displaystyle (X_{t})_{0\leq t\leq T}}$${\displaystyle \left(\Omega ,({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq T}}$

条件が

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|X|_{t}^{2}\,dt}\right]<\infty }$

満たされるとプロセス

${\displaystyle \ {\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}X_{s}\;dW_{s}\right)\ =e^{\int _{0}^{t}X_{s}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\,ds},\quad 0\leq t\leq T}$

は確率測度と濾過 の下でのマルチンゲールです。ここで はDoléans-Dade 指数関数を表します。 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Krogstad, HE (2003). 「Girsanov の定理に関するコメント」(PDF) . IMF . 2005 年 12 月 1 日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。