合理的な結果関係

論理学において、合理的な帰結関係とは、以下に挙げる特定の性質を満たす 非単調な 帰結関係のことです。

合理的帰結関係は、従来の演繹的推論を改良して現実世界のシナリオをより適切にモデル化する論理フレームワークです。これには、再帰性、左論理同値、右弱化、慎重な単調性、左辺の選言、右辺の論理積、合理的単調性などのルールが組み込まれています。これらのルールにより、絶対的な含意ではなく通常の含意に基づいて結論を導き出すことができる非単調な推論が可能になり、関係が日常的な状況をより効果的に処理できるようになります。このアプローチは、情報を追加することで結果が変わる可能性がある場合に特に役立ち、単調な帰結関係よりも微妙な理解が得られます。

合理的な結果関係は以下を満たします。 ${\displaystyle \vdash}$

参照

反射性 ${\displaystyle \theta \vdash \theta }$

いわゆるガベイ・マキンソンルール：^[要出典]

LLE

左論理等価性${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \theta \equiv \phi }{\phi \vdash \psi }}}$

RWE

右手の弱化${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \phi \models \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

最高マーケティング責任者

慎重な単調性 ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \wedge \psi \vdash \phi }}}$

ディス

左側の論理和（つまり、論理和）${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \psi \quad \quad \phi \vdash \psi }{\theta \vee \phi \vdash \psi }}}$

そして

論理的で右側にある${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \psi }{\theta \vdash \phi \wedge \psi }}}$

RMO

有理単調性^{[説明が必要]}${\displaystyle {\frac {\phi \not \vdash \neg \theta \quad \quad \phi \vdash \psi }{\phi \wedge \theta \vdash \psi }}}$

合理的な結果関係は非単調であり、その関係は、theta が通常 phi を意味する、またはphi が通常 theta に従うという意味を伝えることを意図しています。 この意味で、これは単調な結果関係よりも日常の状況をモデル化するのに便利です。なぜなら、後者の関係は、より厳密なブール形式で事実をモデル化するためです。つまり、何かがすべての状況で従うか、従わないかのどちらかです。 ${\displaystyle \theta \vdash \phi }$

「ケーキに砂糖が含まれていれば、おいしい」という文は、単調な帰結関係の下では「ケーキに砂糖と石鹸が含まれていれば、おいしい」という文を意味します。明らかに、これはケーキに関する私たちの理解とは一致しません。「ケーキに砂糖が含まれていれば、通常はおいしい」と主張することで、合理的な帰結関係は現実世界のより現実的なモデルを可能にしますが、もちろん「ケーキに砂糖と石鹸が含まれていれば、通常はおいしい」という結論に自動的にはつながりません。

「ケーキに砂糖が含まれている場合、通常はバターも含まれています」という情報も持っている場合、（CMO に基づいて）「ケーキに砂糖とバターが含まれている場合、通常はおいしい」と法的に結論付けることができます。同様に、「ケーキに砂糖が含まれている場合、通常は石鹸は含まれていません」などの記述がない場合、RMO から「ケーキに砂糖と石鹸が含まれている場合、通常はおいしい」と法的に結論付けることができます。

この後者の結論が馬鹿げているように思えるなら、あなたは無意識のうちに、その文の妥当性を評価する際に、ケーキについての自分の先入観を主張している可能性があります。つまり、経験から、石鹸の入ったケーキはまずい味がする可能性が高いことを知っているので、このシステムに「砂糖の入ったケーキには通常石鹸は入っていません」などの自分の知識を追加しますが、この知識はシステムには含まれていません。この結論が馬鹿げているように思えるなら、石鹸という言葉を卵という言葉に置き換えてみて、気持ちが変わるかどうか試してみるとよいでしょう。

次の文を考えてみましょう:

• 若者はたいてい幸せだ
• 薬物乱用者は通常幸せではない
• 薬物乱用者は通常若者である

次のように結論付けるのはかなり妥当だと考えられる。

• 薬物乱用の若者はたいてい幸せではない

これは単調な演繹システムでは有効な結論ではありません (もちろん「通常」という単語は省略します)。3 番目の文が最初の 2 つの文と矛盾するからです。対照的に、Gabbay-Makinson ルールを使用すると、結論はすぐに得られます。つまり、最後の 2 つの文にCMOルールを適用すると、結果が導き出されます。

上記のルールから次の結果が導かれます。

議員

モーダス・ポネンス ${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}{\theta \vdash \psi }}}$

MP は AND と RWE の規則によって証明されます。

欠点

条件付け${\displaystyle {\frac {\theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \left(\phi \rightarrow \psi \right)}}}$

CC

慎重なカット${\displaystyle {\frac {\theta \vdash \phi \quad \quad \theta \wedge \phi \vdash \psi }{\theta \vdash \psi }}}$

慎重なカットの概念は、条件付けとそれに続く MP の操作を単純にカプセル化したものです。この意味では冗長に思えるかもしれませんが、証明では頻繁に使用されるため、ショートカットとして機能するように名前を付けておくと便利です。

SCL

超階級性${\displaystyle {\frac {\theta \models \phi }{\theta \vdash \phi }}}$

SCL は REF と RWE によって簡単に証明されます。

を有限言語とします。アトムは、 (および)の形式の式です。任意のアトムを真にする一意の評価値が存在することに注意してください (逆に、各評価値は 1 つのアトムを正確に満たします)。したがって、アトムは、何が真であるべきかについての好みを表すために使用できます。 ${\displaystyle L=\{p_{1},\ldots ,p_{n}\}}$${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}p_{i}^{\epsilon}}$${\displaystyle p^{1}=p}$${\displaystyle p^{-1}=\neg p}$

を L 内のすべての原子の集合とします。SLに対して、 を定義します。 ${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \theta \in}$ ${\displaystyle S_{\theta }=\{\alpha \in At^{L}|\alpha \models ^{SC}\theta \}}$

を のサブセットのシーケンスとします。に対して、 SL では、次のいずれかが成り立つ場合、 関係がとなるものとします。${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle \theta \vdash _{\vec {s}}\phi }$

1. ${\displaystyle S_{\theta}\cap s_{i}=\emptyset }$それぞれ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$
2. ${\displaystyle S_{\theta}\cap s_{i}\neq \emptyset }$いくつかの、そして最も小さい i については、.${\displaystyle 1\leq i\leq m}$${\displaystyle S_{\theta}\cap s_{i}\subseteq S_{\phi} }}$

すると、関係は 合理的な帰結関係になります。これは、GM 条件を満たしているかどうかを直接確認することで簡単に検証できます。 ${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$

アトム セットのシーケンスの背後にある考え方は、前のセットが「若者は通常法律を遵守している」などの最も可能性の高い状況を説明するのに対し、後のセットが「若い無謀運転者は通常法律を遵守していない」などの可能性の低い状況を説明するというものです。

1. 関係 の定義により、を 、を... 、をに置き換えても、関係 は変化しません。このようにして、それぞれを互いに素にします。逆に、先行する のいずれかから後続のアトムに を追加しても、合理的な結果の関係に違いはありません。${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s_{2}\setminus s_{1}}$${\displaystyle s_{3}}$${\displaystyle s_{3}\setminus s_{2}\setminus s_{1}}$${\displaystyle s_{m}}$${\displaystyle s_{m}\setminus \bigcup _{i=1}^{m-1}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$

有限言語上の任意の合理的帰結関係は、上記の原子選好のシーケンスを介して表現可能であることが証明できます。つまり、任意のそのような合理的帰結関係に対して、関連する合理的帰結関係が同じ関係であるようなのサブセットのシーケンスが存在します。${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle {\vec {s}}=s_{1},\ldots ,s_{m}}$${\displaystyle At^{L}}$${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle {\vdash _{\vec {s}}}={\vdash }}$

1. の上記の性質により、合理的帰結関係の表現は一意である必要はありません。 が互いに素でない場合は、合理的帰結関係を変更せずに互いに素にすることができ、逆に、 が互いに素である場合は、合理的帰結関係を変更せずに、後続の各セットに前のセットの任意のアトムを含めることができます。${\displaystyle \vdash _{\vec {s}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle s_{i}}$

• Hill, Lee CE (2002)。「最大エントロピーと条件付き知識ベースの合理的閉包との間の新しい関係」マンチェスター大学。 ^{[リンク切れ‍ ]}
• D. Makinson (1994 年 3 月)。「非単調推論の一般パターン」。DM Gabbay、CJ Hogger、JA Robinson (編)。演繹方法論。人工知能と論理プログラミングのロジック ハンドブック。第 2 巻。オックスフォード: オックスフォード大学出版局。35 ～ 110 ページ。ISBN 978-0-19-853746-5。