ニュートンの限界

物理学において、ニュートンの極限とは、(1) 弱い重力、(2) 光速に比べてゆっくりと移動する物体、(3) ゆっくりと変化する（または完全に静的な）重力場を示す物理システムに適用できる数学的近似です。 ^[1] これらの条件下では、ニュートンの万有引力の法則を使用して正確な値を得ることができます。一般に、そして大きな重力が存在する場合は、一般相対性理論を使用する必要があります。

ニュートンの極限では、時空はほぼ平坦であり^[1]、ミンコフスキー計量は有限距離にわたって使用できます。この場合、「ほぼ平坦」とは重力の効果が 0 に近づく空間として定義され、数学的には実際の時空とミンコフスキー空間は同一ではなく、ミンコフスキー空間は理想化されたモデルです。

特殊相対論では、ニュートン力学の振る舞いはほとんどの場合、限界を実行することによって得られる。この限界では、頻繁に現れるガンマ係数は1になり 、基準系間の ローレンツ変換はガリレオ変換に変わる。${\displaystyle v\to 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}&\to 1\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t'=\gamma (tv/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (xv\,t)&\to x'=xv\,t\end{aligned}}}$$

計量を持つ曲がった時空上の自由粒子に対する測地線方程式は、作用から導くことができる。 時空計量が 次の式の場合、秩序の寄与をすべて無視すると、作用は 次式になる。これは、重力ポテンシャル内の粒​​子のニュートン運動方程式を再現する作用である^[2]。${\displaystyle g^{\mu \nu}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu }\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}-1-{\frac {2\,\phi (x)}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}}\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2}}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-m\,\phi (x)\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle \phi (x)}$

• 古典的限界