ネストされたセットコレクション

ネストされたセットコレクションまたはネストされたセットファミリは、ロシア人形のように階層構造を形成するサブセットのチェーンで構成されるセットのコレクションです。

これは、科学的な階層定義や、計算データ構造のツリーやリレーショナルデータベースのネストされたセットモデルなどの多くの技術的アプローチにおける参照概念として使用されます。

この概念は、遺伝的特性を持つ集合の集合（遺伝的に有限な集合における有限性など）と混同されることがあります。

正式な定義

ネストされた集合コレクションを集合の族とみなす著者もいる。他の著者^[1]は、ネストされた集合コレクションを包含順序として分類することを好む。

B を空でない集合とし、C をBのサブセットのコレクションとします。次の場合、C はネストされた集合コレクションです。

$B\in \mathbf {C}$ （そして、一部の著者にとっては、） $\emptyset \notin \mathbf {C}$
$\forall H,K\in \mathbf {C} ~:~H\cap K\neq \emptyset \implies H\subset K~\lor ~K\subset H$

最初の条件は、すべての部分集合の要素をすべて含む集合B全体が、入れ子集合のコレクションに属していなければならないというものです。一部の著者^[1]は、Bが空でないことを前提としていません。

2番目の条件は、入れ子になった集合コレクション内の各集合の交差は、一方の集合が他方の集合のサブセットである場合にのみ空集合にならないというものです。^[2]

特に、2 番目の条件でサブセットのすべてのペアをスキャンすると、Bとの任意の組み合わせに対して真になります。

例

トランプのマークのセットとして、原子元素のセットを使用します。

B = {♠、♥、♦、♣}; B ₁ = {♠、♥}; B ₂ = {♦、♣}; B ₃ = {♣};
C = { B、 B ₁、 B ₂、B ₃ }。

正式な定義の 2 番目の条件は、すべてのペアを組み合わせることで確認できます。

B 1 \cap B 2 = \emptyset; B 1 \cap B 3 = \emptyset ; B 3 \subset B 2

。

2 つのブランチとそのネストされた順序で表現できる階層があります: $B 3 \subset B 2 \subset B; B 1 \subset B$ 。

派生概念

セットは一般的な抽象化であり、多くの概念の基礎となるため、ネストされたセットは「ネストされた階層」、「包含階層」などの基礎となります。

ネストされた階層

ネストされた階層または包含階層は、ネストされたセットの階層的な順序です。^[3]ネストの概念は、ロシアのマトリョーシカ人形に例えられます。各人形は、外側の人形に至るまで別の人形に囲まれています。外側の人形はすべての内側の人形を保持し、次の外側の人形は残りのすべての内側の人形を保持し、以下同様に続きます。マトリョーシカは、各レベルに 1 つのオブジェクトのみが含まれる、つまり人形のサイズが 1 つしかない、ネストされた階層を表します。一般化されたネストされた階層では、レベル内に複数のオブジェクトを含めることができますが、各オブジェクトは各レベルで 1 つの親のみを持ちます。一般的な概念を図解すると、次のようになります。

{\text{正方形}}\subset {\text{四辺形}}\subset {\text{多角形}}\subset {\text{形状}}\,

正方形は、常に四辺形、多角形、または図形とも呼ばれます。このように、正方形は階層構造になっています。ただし、この分類を使用して多角形の集合を考えてみましょう。正方形は四辺形にしかなれません。三角形や六角形などになることはできません。

階層構造は、分類法や体系的分類の背後にある組織体系です。例えば、リンネの分類法（リンネが『自然の体系』第10版で示したバージョン）を用いると、人間は次のように定式化できます。^[4]

{\text{H. sapiens}}\subset {\text{ヒト}}\subset {\text{霊長類}}\subset {\text{哺乳類}}\subset {\text{動物界}}

分類法は頻繁に変更される可能性があります (生物学分類法に見られるように) が、ネストされた階層の基本的な概念は常に同じです。

包含階層

包含階層は、ネストされた階層の概念を直接外挿したものです。順序付けられたセットはすべてネストされていますが、すべてのセットは「厳密」である必要があります。つまり、2 つのセットが同一になることはできません。上記の図形の例は、これを説明するために変更できます。

{\text{正方形}}\subsetneq {\text{四辺形}}\subsetneq {\text{多角形}}\subsetneq {\text{形状}}\,

この表記は、x がyのサブセットであるが、 yと等しくないことを意味します。 $x\subsetneq y\,$

包含階層は、オブジェクト指向プログラミングのクラス継承で使用されます。

参照

遺伝的に可算な集合
世襲財産
階層（数学）
リレーショナルデータベースに階層情報を格納するためのネストセットモデル

参考文献

^ ab B. Korte および J. Vygen (2012)。組み合わせ最適化。Springer、ハイデルベルク。
^ 「デジタル図書館とアーカイブ：第8回イタリア研究会議、IRCDL 2012 - イタリア、バーリ、2012年2月9日～10日、改訂選定論文」、 Maristella Agosti、Floriana Esposito、Stefano Ferilli、Nicola Ferro編。2013年発行。ISBN 9783642358340。定義は221ページ。
^ レーン、デイビッド (2006)。「階層、複雑性、社会」。デニス・プメイン (編)。自然科学と社会科学における階層。ニューヨーク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク。pp. 81–120。ISBN 978-1-4020-4126-6。
^ リンナイ、カール・フォン(1959). Systema naturae per regna tria naturae : 第 2 クラス、序列、属、種、特性、差異、同義語、座位 (ラテン語) (第 10 版)。ストックホルム：インペンシスダイレクト。ISBN 0-665-53008-0. 2011年9月24日閲覧。

[Korte2012-1] B. Korte および J. Vygen (2012)。組み合わせ最適化。Springer、ハイデルベルク。

[2] 「デジタル図書館とアーカイブ：第8回イタリア研究会議、IRCDL 2012 - イタリア、バーリ、2012年2月9日～10日、改訂選定論文」、 Maristella Agosti、Floriana Esposito、Stefano Ferilli、Nicola Ferro編。2013年発行。ISBN 9783642358340。定義は221ページ。

[natsocsci-ch4-3] レーン、デイビッド (2006)。「階層、複雑性、社会」。デニス・プメイン (編)。自然科学と社会科学における階層。ニューヨーク、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク。pp. 81–120。ISBN 978-1-4020-4126-6。

[4] リンナイ、カール・フォン(1959). Systema naturae per regna tria naturae : 第 2 クラス、序列、属、種、特性、差異、同義語、座位 (ラテン語) (第 10 版)。ストックホルム：インペンシスダイレクト。ISBN 0-665-53008-0. 2011年9月24日閲覧。