n次元連続移動パズル

ルービックキューブは、3 次元の連続移動パズルの元祖であり、最もよく知られています。このパズルは、ソフトウェアで仮想的に実装されたものが数多くあります。3次元を超える連続移動パズルを作成するのは自然な流れです。このようなパズルを物理的に構築することはできませんが、その動作のルールは数学的に厳密に定義されており、3 次元幾何学のルールに類似しています。したがって、ソフトウェアでシミュレートできます。機械的な連続移動パズルと同様に、解答者の記録はありますが、競争組織と同程度ではありません。

• 頂点。高次元の図形が交わる 0 次元の点。
• エッジ。高次元の図形が交わる 1 次元の図形。
• 面。3 次元を超えるオブジェクトの場合、高次元の図形が交わる 2 次元の図形。
• セル。(4 次元を超えるオブジェクトの場合) 高次元の図形が交わる 3 次元図形。
• n -多面体。上記に続くn次元の図形。適切な場合には、多面体を特定の幾何学的形状に置き換えることができます。たとえば、四次元立方体は 4 次元立方体を意味します。
• nセル。n個のセルを含む高次元の図形。
• ピース。パズル全体と同じ次元を持つ、パズルの単一の可動部分。
• Cubie。パズルを解くコミュニティでは、これは一般に「ピース」を表すために使用される用語です。
• ステッカー。パズルの状態を示す、パズル上の色付きラベル。たとえば、ルービック キューブのコーナー キューブは 1 つのピースですが、それぞれに 3 つのステッカーがあります。高次元パズルのステッカーは、2 次元以上になります。たとえば、4 キューブでは、ステッカーは 3 次元の立体です。

^{比較のために、標準的な 3 × 3}ルービックキューブ に関するデータは次のとおりです。

達成可能な組み合わせの数  ${\displaystyle ={\frac {12!\cdot 8!}{2}}\cdot {\frac {2^{12}}{2}}\cdot {\frac {3^{8}}{3}}\sim 10^{20}}$

面心立方体は互いに相対的に動かすことができないため、別々のピースとして数えるかどうかについては議論があります。異なる情報源ではピースの数が異なる場合があります。この記事では、面心立方体は算術的なシーケンスの一貫性を高め、回転させることもでき、その解決にはアルゴリズムが必要であるため、面心立方体は数えられています。ただし、真ん中の立方体は目に見えるステッカーがないため、解く必要がないため数えられません。算術的には、次のようになります。

${\displaystyle P=V+E+F+C\,\!}$

しかし、この記事で示した図では、C (または高次元の場合は対応する最高次元の多面体) がカウントされていないため、 Pは常にこれ (またはこの式のn次元拡張)より 1つ短くなります。

幾何学的形状:テッセラクト

Superliminal MagicCube4D ソフトウェアは、N ⁴キューブを含む 4D 多面体のツイスト パズル バージョンを多数実装しています。UI では、4D ツイストと回転が可能で、3D への投影、キューブのサイズと間隔、ステッカー サイズなどの 4D 表示パラメータを制御できます。

Superliminal Software は、このパズルの記録破りの解答者を殿堂入りさせています。

達成可能な組み合わせ: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot {\frac {16!}{2}}\cdot 2^{23}\cdot (3!)^{31}\cdot 3\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{15}\cdot 4}$

${\displaystyle \sim 10^{120}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[2]

${\displaystyle {}={\frac {15!}{2}}\cdot {\left({\frac {4!}{2}}\right)}^{14}\cdot 4}$

${\displaystyle {}\sim 10^{28}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {15!}{2}}\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{14}\cdot 4\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot 3^{63}\cdot {\frac {96!\cdot 2}{2\cdot (4!)^{24}}}\cdot {\frac {2^{95}\cdot 64!\cdot 2}{2\cdot (8!)^{8}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{334}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[2]

${\displaystyle ={\frac {48!}{(6!)^{8}}}\cdot {\frac {96!}{(12!)^{8}}}\cdot {\frac {64!}{(8!)^{8}}}\cdot {\frac {24!\cdot 32!}{2}}\cdot (3!)^{31}\cdot 2^{23}\cdot {\frac {64!}{2}}\cdot }$${\displaystyle 3^{63}\cdot 16!\cdot \left({\frac {4!}{2}}\right)^{15}\cdot 4\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}\cdot {\frac {96!}{(4!)^{24}}}\cdot 2^{95}}$

${\displaystyle \sim 10^{701}\,\!}$

幾何学的形状:ペンタラクト

Roice Nelson による Magic Cube 5D は、2 x ⁵から7 x ⁵までの 6 つのサイズの 5 キューブ パズルをレンダリングできます。Magiccube4D と同様に、キューブを複数の次元で回転するための 5D ツイストとコントロール、4-D および 5-D パースペクティブ コントロール、キュービとステッカーの間隔とサイズのコントロールが可能です。

しかし、5D パズルは 4D パズルよりも理解するのがはるかに困難です。Roice の実装の重要な機能は、選択したキューブとステッカーをオフにしたり強調表示したりできることです。それでも、スクリーンショットからわかるように、生成される画像の複雑さは依然としてかなり深刻です。

ロイスは、このパズルの記録破りの解答者のために「狂気の殿堂」を運営している。2011年1月6日現在、5キューブの7× ^{5サイズの解答が2件成功している。 [3]}

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}}$

${\displaystyle \sim 10^{561}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}}$

${\displaystyle \sim 10^{89}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle ={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}}$

${\displaystyle \sim 10^{2075}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {40!\cdot 80!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{(6!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {320!}{(8!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {480!}{(12!)^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {80!}{(8!)^{10}}}\cdot {\frac {160!}{(16!)^{10}}}\cdot \\{\frac {240!}{(24!)^{10}}}\cdot {\frac {320!}{(32!)^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{5267}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {31!}{2}}\cdot 60^{31}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot \\{\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{11441}\,\!}$

達成可能な組み合わせ: ^[4]

${\displaystyle {\begin{matrix}={\frac {32!}{2}}\cdot 60^{32}\cdot {\frac {80!}{2}}\cdot {\frac {24^{80}}{2}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {160!}{2}}\cdot {\frac {12^{160}}{3}}\cdot {\frac {80!\cdot 40!}{2}}\cdot {\frac {6^{80}}{2}}\cdot {\frac {2^{40}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {640!}{24^{160}}}\cdot {\frac {3^{640}}{3}}\cdot {\frac {320!}{24^{80}}}\cdot {\frac {6^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot \\{\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {240!}{6!^{40}}}\cdot {\frac {2^{240}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {480!}{12!^{40}}}\cdot {\frac {2^{480}}{2}}\cdot {\frac {960!}{24!^{40}}}\cdot {\frac {2^{960}}{2}}\cdot {\frac {320!}{8!^{40}}}\cdot {\frac {2^{320}}{2}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\cdot {\frac {80!}{8!^{10}}}\cdot \\{\frac {480!}{48!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {240!}{24!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {960!}{96!^{10}}}\cdot {\frac {320!}{32!^{10}}}\cdot {\frac {640!}{64!^{10}}}\cdot {\frac {160!}{16!^{10}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle \sim 10^{21503}\,\!}$

幾何学的形状:ヘキセラクト(6D) とヘプテラクト(7D)

^{Andrey Astrelin の Magic Cube 7D ソフトウェアは、 3 4}から5 ⁷までの 12 のサイズで最大 7 次元のパズルをレンダリングできます。

2024年7月現在、マジックキューブ7D専用のパズルとしては、3^{・6、3・7、4}・6、5^・6^のパズルのみが解けている。^[5]

幾何学的形状: 120 細胞(ヘカトニコサコリンまたはドデカコンタコリンとも呼ばれる)

120 セルは、120 個の正十二面体で構成される4 次元の幾何学図形 ( 4 次元多面体) で、正十二面体は 12個の五角形で構成される 3 次元図形です。120 セルは、四面体 (4 次元立方体) が立方体の 4 次元類似体であるのと同様に、正十二面体の 4 次元類似体です。したがって、Gravitation3d の 4 次元 120 セル ソフトウェア シーケンシャル ムーブ パズルは、正十二面体の形状を持つ 3 次元パズルMegaminxの 4 次元類似体です。

このパズルは、1 辺に 3 つの立方体という 1 つのサイズのみでレンダリングされますが、難易度の異なる 6 つのカラー スキームでレンダリングされます。完全なパズルでは、各セルに異なる色が必要で、合計 120 色になります。この多数の色により、一部の色合いを区別するのが非常に難しいという点で、パズルの難易度が増します。最も簡単な形式は、2 つの連結トーラスで、各トーラスは異なる次元の立方体のリングを形成します。カラー スキームの完全なリストは次のとおりです。

• 2色トーリ。
• 9 色の 4 キューブ セル。つまり、4 キューブと同じ配色です。
• 9色のレイヤー。
• 12色のリング。
• 60 色の対蹠色。正反対の正十二面体セルの各ペアは同じ色です。
• 120色のフルパズル。

コントロールは 4-D マジック キューブと非常に似ており、4-D パースペクティブ、セル サイズ、ステッカー サイズと距離、通常のズームと回転のコントロールがあります。さらに、トーラス、4 キューブ セル、レイヤー、またはリングの選択に基づいて、セルのグループを完全にオフにする機能もあります。

Gravitation3dは、解答者のための「殿堂」を設けており、解答者は解答のログファイルを提出する必要がある。2017年4月現在、このパズルは12回解かれている。^[6]

達成可能な組み合わせ: ^[7]

${\displaystyle ={\frac {600!}{2}}\cdot {\frac {1200!}{2}}\cdot {\frac {720!}{2}}\cdot {\frac {2^{720}}{2}}\cdot {\frac {6^{1200}}{2}}\cdot {\frac {12^{600}}{3}}}$

${\displaystyle \sim 10^{8126}\,}$

この達成可能な組み合わせの計算は数学的に証明されておらず、上限としか考えられません。その導出は、すべての「最小変更」の組み合わせを作成するために必要なアルゴリズムのセットが存在することを前提としています。パズルの解答者は、これまでに解かれたすべての類似のパズルでこれらのアルゴリズムを見つけることに成功しているので、これらのアルゴリズムが見つからないと考える理由はありません。

幾何学的形状:正方形

2D ルービック タイプのパズルは、4D パズルと同様に物理的に構築することはできません。^[8] 3D パズルは、3 次元にステッカーを貼らずに構築することができ、2D パズルとして機能しますが、パズルの実際の実装は仮想世界に残ります。ここに示す実装は、Superliminal によるもので、2D マジック キューブと呼ばれています。

このパズルは解法が極めて簡単なので、解答者にとってそれほど興味深いものではありません。主な理由は、ピースをひねりながら所定の位置に配置できないためです。標準的なルービック キューブで最も難しいアルゴリズムのいくつかは、ピースが正しい位置にあっても正しい向きになっていないようなひねりに対処することです。より高次元のパズルでは、このひねりによってピースが明らかに裏返しになっているというかなり当惑させる形になることがあります。2×2×2 パズルの難易度と 3×3 (ピースの数は同じ) の難易度を比較するだけで、高次元でひねりを生じさせる能力が、人気のルービック キューブの難しさ、ひいては解いたときの満足度に大きく関係していることがわかります。

達成可能な組み合わせ:

${\displaystyle =4!\,\!=24}$

中央のピースは互いに対して固定された向きに配置されているため (標準的な 3×3×3 キューブの中央のピースとまったく同じ)、組み合わせの計算には考慮されません。

このパズルは、ルービックキューブの真の2次元版ではありません。n次元パズルの単一の多面体に対する操作群が、 ( n -1)次元空間における( n -1  )次元多面体の任意の回転として定義される 場合、その群のサイズは、

• 5次元立方体は4次元空間における4次元多面体の回転であり、8×6×4 = 192である。
• 4次元立方体は3次元多面体（立方体）を3次元空間で回転させる＝6×4＝24である。
• 3次元立方体は2次元空間における2次元多面体（正方形）の回転 = 4
• 2次元立方体は1次元多面体の1次元空間での回転 = 1

言い換えれば、実際の 3D パズルと同じ動きの制限が課せられると、2D パズルをまったくスクランブルできません。2D マジック キューブに実際に与えられる動きは、反射の操作です。この反射操作は、より高次元のパズルに拡張できます。3D キューブの場合、類似の操作は、面を削除して、キューブの内側を向いたステッカーに置き換えることです。4 キューブの場合、類似の操作は、キューブを削除して、裏返しに置き換えることです。

もう 1 つの代替次元パズルは、David Vanderschel の Magic Cube 3D で実現できるビューです。2D コンピューター画面に投影された 4 次元キューブは、 ( n – 2) 次元空間に投影されたn次元パズルの一般的なタイプの例です 。これの 3D 類似物は、キューブを 1 次元表現に投影することであり、これは Vanderschel のプログラムで実行できます。

ヴァンダーシェルは、このパズルの1D投影を解いたと主張する人がいないことを嘆いている。^[9]しかし、このパズルの記録が保存されていないため、実際には未解決ではない可能性がある。

• ルービックキューブグループ
• ルービックキューブソフトウェア一覧
• 4次元ゲームのリスト

• HJ Kamack と TR Keane 著「The Rubik Tesseract」は、こちらからオンラインで閲覧可能で、2008 年 12 月 25 日にアーカイブされています。
• Velleman, D、「Rubik's Tesseract」、Mathematics Magazine、Vol. 65、No. 1 (1992 年 2 月)、pp. 27–36、Mathematical Association of America。
• ピックオーバー、C、「ハイパースペースをサーフィンする」、pp120-122、オックスフォード大学出版局、1999年。
• Pickover, C,エイリアン IQ テスト、第 24 章、Dover Publications、2001 年。
• ピックオーバー、C、「魔方陣、魔方陣、魔方陣と星の禅」、pp130-133、プリンストン大学出版、2001年。
• David Singmaster、「Computer Cubists」、2001 年 6 月。Singmaster が管理するリストで、4D の参照も含まれています。2008 年 6 月 19 日に取得。

• スーパーリミナル
• Gravitation3d による d 次元ルービック キューブの解剖
• デイヴィッド・ヴァンダーシェルの 3D マジックキューブ