後層化による多層回帰

後層別化による多段階回帰( MRP ) は、サンプル母集団 (所有するデータの母集団) とターゲット母集団 (推定する母集団) 間の既知の差異についてモデル推定値を修正するために使用される統計手法です 。

後層別化とは、推定値を調整するプロセスを指し、基本的には、属性 (年齢と性別など) のすべての可能な組み合わせからの推定値の加重平均です。各組み合わせは、「セル」と呼ばれることもあります。マルチレベル回帰は、マルチレベル モデルを使用して、全体の平均または近くの平均を使用して、データが少なすぎるセル内のノイズの多い推定値を平滑化します。

一つの応用としては、他の集計レベル（例えば、全国調査）で収集された個人レベルの調査データに基づいて、サブ地域（例えば、州、個々の選挙区）における選好を推定することが挙げられます。^[1]

MRPモデルの説明に従って、^[2]は単一の結果測定を表し、の母集団平均値、が対象のターゲットパラメータであると仮定します。基礎となる母集団では、各個体、は、共変量の一意のセットによって特徴付けられる後層化セルの1つに属します。後層化モデルによるマルチレベル回帰には、次の2つのステップが含まれます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu_{Y}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j=1,2,\cdots ,J}$

MRPステップ1（多段階回帰） : 多段階回帰モデルは、平均の線形予測子、またはバイナリ結果の場合は平均のロジット変換を、後層化セルで指定します。 ${\displaystyle \mu _{Y}}$${\displaystyle j}$

$${\displaystyle g{\left({\mathrm {\mu } }_{j}\right)}=g{\left(E{\left[Y_{j{\lbrack i\rbrack }}\right]}\right)}={\mathrm {\beta } }_{0}+{\boldsymbol {X}}_{j}^{T}\mathbf {\beta } +\sum _{k=1}^{K}a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k},}$$

ここで、はセル の回答者の結果の測定値、は固定切片、はセル の一意の共変量ベクトル、は回帰係数のベクトル (固定効果)、は変動係数 (ランダム効果)、はセル インデックスを変数 の対応するカテゴリ インデックスにマップします。 すべての変動係数は、独立した正規事前分布を持つ交換可能なバッチです。 ${\displaystyle Y_{j\lbrack i\rbrack }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathrm {\beta } }}$${\displaystyle a_{l{\lbrack j\rbrack }}^{k}}$${\displaystyle l{\lbrack j\rbrack }}$${\displaystyle j}$${\displaystyle l}$${\displaystyle k\in \{1,2,\cdots ,K\}}$ ${\displaystyle a_{l}^{k}\sim \mathrm {N} \left(0,\mathrm {\sigma } _{k}^{2}\right),\ l\in \{1,\dots ,L_{k}\}}$

MRP ステップ 2: 後層別化: 対象の母集団パラメータの後層別化 (PS) 推定値は、 後層別化セルの対象となる推定結果であり 、母集団内の 番目の後層別化セル のサイズです。任意のサブ母集団レベルでの推定値も同様に導出されます 。 ここで、は、を構成するすべての後層別化セルのサブセットです。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J}N_{j}}}}$${\displaystyle {\hat {\mu }}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle {\hat {\mu }}_{s}^{PS}={\frac {\sum _{j=1}^{J_{s}}N_{j}{\hat {\mu }}_{j}}{\sum _{i=1}^{J_{s}}N_{j}}}}$$${\displaystyle J_{s}}$${\displaystyle s}$

この手法は、基本的に、例えば、異なる特性（年齢、人種など）に対応する様々なタイプの人々に関する国勢調査のデータを使用して、最初のステップでそれらのタイプと個人の好みとの関係を推定します（つまり、データセットのマルチレベル回帰）。次に、この関係を使用して、サブリージョン内の各タイプ/特性を持つ人々の数に基づいてサブリージョンの好みを推定します（「後層化」と呼ばれるプロセス）。^[3]この方法では、サブリージョンレベルでの調査の必要性が回避されます。これは、多くのサブリージョン（郡、選挙区、州など）がある地域（国など）では費用がかかり、非現実的になる可能性があります。また、異なる地域で行われた異なる調査を比較する場合の調査の一貫性の問題も回避されます。^{[4] [1]}さらに、問題の地域からの比較的少数の人々を含む、またはサンプルが非常に代表的でない可能性のある、より広い地域で行われた調査に基づいて、特定の地域内の好みを推定できます。^[5]

この手法はもともと1997年にゲルマン氏とT.リトル氏によって開発され、^[6]フェイとヘリオット氏^[7]とR.リトル氏^[8]のアイデアを基にしたものです。その後、2004年と2006年にパーク氏、ゲルマン氏、バフミ氏によって拡張されました。2009年にはラックス氏とフィリップス氏によって米国の州レベルの有権者の選好を推定するために提案されました。その後、2012年にウォーショウ氏とロッデン氏が地区レベルの世論を推定するために提案しました。 ^[1]その後、ワン氏ら^[9]はXboxユーザーの調査データを使用して2012年の米国大統領選挙の結果を予測しました。Xboxゲーマーは65%が18〜29歳で93%が男性で、有権者全体は19%が18〜29歳で47%が男性でした。元のデータは非常に偏っていたが、後層化による多段階回帰分析を行った後、著者らは大量のランダムデータと代表データを用いた世論調査の結果と一致する推定値を得ることができた。それ以来、この方法は疫学の分野でも利用が提案されている。^[5]

YouGovはこの手法を使って2017年の英国総選挙の全体的な結果を予測し、^[10]選挙区の93%で結果を正しく予測しました。^{[11] 2019年と2024年の選挙では、Survation [12]}やIpsos ^[13]などの他の世論調査会社もMRPを使用しました。

MRPは、時間の経過に伴う世論の変化を推定するために拡張することができ^[4]、選挙を予測するために使用する場合は、立候補の締め切り後の投票日に近い時期に使用すると最も効果的です^{[14] 。}

MRPの「マルチレベル回帰」と「後層別化」の考え方はどちらも一般化できる。マルチレベル回帰はノンパラメトリック回帰^[15]または正規化予測に置き換えることができ、後層別化は非国勢調査変数、つまり既知ではなく推定された後層別化合計を許容するように一般化できる。^[16]