ミュアヘッドの不平等

任意の実ベクトルに対して

${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

正の実数x ₁ , ..., x _nの「a平均」[ a ] を次のように定義する。

${\displaystyle [a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{a_{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{a_{n}},}$

ここで、和は{1, ..., n }のすべての順列σにわたって取られる。

aの要素が非負整数である場合、a平均は単項式対称多項式によって等価に定義できます。${\displaystyle m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n})}$として

${\displaystyle [a]={\frac {k_{1}!\cdots k_{l}!}{n!}}m_{a}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$

ここで、ℓ はaに含まれる異なる要素の数であり、k ₁ , ..., k _ℓはそれらの重複度である。

上記で定義されたa平均は、平均の通常の性質(例えば、等しい数の平均がそれらと等しい場合)しか持たないことに注意してください。${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=1}$一般的には、代わりに${\displaystyle [a]^{1/(a_{1}+\cdots +a_{n})}}$これはミュアヘッド平均と呼ばれる。^{[ 1 ]}

例

• a = (1, 0, ..., 0)の場合、 aの平均はx ₁、 ..., x _nの通常の算術平均です。
• a = (1/ n , ..., 1/ n )の場合、 aの平均はx ₁ , ..., x _nの幾何平均です。
• a = ( x , 1 − x )の場合、 aの平均はハインツ平均です。
• a = (−1, 0, ..., 0)のミュアヘッド平均は調和平均です。

n × n行列P が二重確率行列であるのは、 Pとその転置行列P ^Tの両方が確率行列である場合に限る。確率行列とは、各列の要素の合計が1 である非負の実数要素からなる正方行列である。したがって、二重確率行列とは、各行の要素の合計と各列の要素の合計が 1 である非負の実数要素からなる正方行列である。

和の対称性により、指数を降順に並べても一般性は失われない。

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}$

${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.}$

すると、 a = Pbとなるような二重確率行列Pの存在は、次の不等式系と同等である。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&\leq b_{1}\\a_{1}+a_{2}&\leq b_{1}+b_{2}\\a_{1}+a_{2}+a_{3}&\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}\\&\,\,\,\vdots \\a_{1}+\cdots +a_{n-1}&\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}\\a_{1}+\cdots +a_{n}&=b_{1}+\cdots +b_{n}.\end{aligned}}}$

（最後の式は等式であり、その他は弱い不等式である。）

シーケンス${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$シーケンスを優勢にすると言われている${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$。

させて

${\displaystyle a_{G}=\left({\frac {1}{n}},\ldots ,{\frac {1}{n}}\right)}$

そして

${\displaystyle a_{A}=(1,0,0,\ldots ,0).}$

我々は持っています

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{A1}=1&>a_{G1}={\frac {1}{n}},\\a_{A1}+a_{A2}=1&>a_{G1}+a_{G2}={\frac {2}{n}},\\&\,\,\,\vdots \\a_{A1}+\cdots +a_{An}&=a_{G1}+\cdots +a_{Gn}=1.\end{aligned}}}$

それから

[ a _A ] ≥ [ a _G ]、

それは

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}(x_{1}^{1}\cdot x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}+\cdots +x_{1}^{0}\cdots x_{n}^{1})(n-1)!\geq {\frac {1}{n!}}(x_{1}\cdot \cdots \cdot x_{n})^{1/n}n!}$

不等式が得られる。

我々は、バンチング（ミュアヘッドの不等式）を用いて、 x² ⁺ y² ≥ ^2xyを証明しようとする。これを対称和表記に変換する。

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{2}y^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}.}$

数列 (2, 0) は数列 (1, 1) を優位化するため、不等式はバンチングによって成り立つ。

同様に、不等式を証明することができる。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 3xyz}$

対称和表記法を用いて次のように記述する。

${\displaystyle \sum _{\mathrm {sym} }x^{3}y^{0}z^{0}\geq \sum _{\mathrm {sym} }x^{1}y^{1}z^{1},}$

これは、

$2x³+2y³+2z³ ≥ 6xyz。$

数列 (3, 0, 0) は数列 (1, 1, 1) を優位化するため、不等式はバンチングによって成り立ちます。