動く衝撃

流体力学において、移動衝撃波とは、流体（多くの場合気体）媒体を、その媒体を構成する流体の速度に相対する速度で移動する衝撃波のことです。 ^[1] そのため、移動衝撃波の前後の特性を計算するには、通常の衝撃波関係を修正する必要があります。移動衝撃波の知識は、デトネーションなどの 現象を研究する上で重要です。

移動する衝撃波の理論方程式を導くには、まず衝撃波の前の領域を下付き文字 1 で表し、衝撃波の後ろの領域を下付き文字 2 で定義します。これは図に示されており、衝撃波は右方向に伝播しています。ガスの速度はu、圧力はp、局所的な音速はaで表されます。ガスに対する衝撃波の速度はWであり、全体の速度はu ₁ + Wに等しくなります。

次に、参照フレームが衝撃波に固定され、領域 1 と 2 のガスがそれに対して相対的な速度で移動するときに、参照フレームが静止しているように見えるとします。領域 1 をx、領域 2 をyとして再定義すると、衝撃波に対する相対速度は次のようになります。

${\displaystyle \ u_{y}=W+u_{1}-u_{2},}$

${\displaystyle \u_{x}=W.}$

これらの衝撃波相対速度を用いて、衝撃波の前後の領域の特性を、温度をT、密度をρ、マッハ数をMとして以下のように定義できます。

${\displaystyle \ p_{1}=p_{x}\quad ;\quad p_{2}=p_{y}\quad ;\quad T_{1}=T_{x}\quad ;\quad T_{2}=T_{y},}$

${\displaystyle \\rho_{1}=\rho_{x}\quad;\quad\rho_{2}=\rho_{y}\quad;\quada_{1}=a_{x}\quad;\quada_{2}=a_{y},}$

${\displaystyle \ M_{x}={\frac {u_{x}}{a_{x}}}={\frac {W}{a_{1}}},}$

${\displaystyle \ M_{y}={\frac {u_{y}}{a_{y}}}={\frac {W+u_{1}-u_{2}}{a_{2}}}.}$

熱容量比をγとして導入すると、音速、密度、圧力比が導かれます。

${\displaystyle \ {\frac {a_{2}}{a_{1}}}={\sqrt {1+{\frac {2(\gamma -1)}{(\gamma +1)^{2}}}\left[\gamma M_{x}^{2}-{\frac {1}{M_{x}^{2}}}-(\gamma -1)\right]}},}$

${\displaystyle \ {\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}={\frac {1}{1-{\frac {2}{\gamma +1}}\left[1-{\frac {1}{M_{x}^{2}}}\right]}},}$

${\displaystyle \ {\frac {p_{2}}{p_{1}}}=1+{\frac {2\gamma }{\gamma +1}}\left[M_{x}^{2}-1\right].}$

上記の式は右方向に移動する衝撃波に対するものであることを覚えておく必要があります。左方向に移動する衝撃波の場合は、xとy の添え字を入れ替える必要があります。

${\displaystyle \ u_{y}=W-u_{1}+u_{2},}$

${\displaystyle \ M_{y}={\frac {W-u_{1}+u_{2}}{a_{2}}}.}}$

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