モリー・カンパナート空間

数学において、モーリー・カンパナート空間（チャールズ・B・モーリー・ジュニアとセルジオ・カンパナートにちなんで名付けられた）は、有界平均振動の関数の概念を拡張したバナッハ空間であり、球体における関数の振動が次元以外の半径の何らかのべきに比例する状況を記述する。 の特定の値に対して、空間の要素が領域 上のヘルダー連続関数であるため、 これらは楕円型偏微分方程式の理論で使用される。${\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}$${\displaystyle \オメガ}$

モーリー空間の半ノルムは次のように与え られる。

${\displaystyle {\bigl (}[u]_{\lambda ,p}{\bigr )}^{p}=\sup _{0<r<\operatorname {diam} (\Omega ),x_{0}\in \Omega }{\frac {1}{r^{\lambda }}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }|u(y)|^{p}dy.}$

のとき、モーリー空間は通常の空間と同じです。 のとき、空間次元は、ルベーグ微分定理により、モーリー空間は と等価です。 のとき、空間には 0 関数のみが含まれます。 ${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle \lambda =n}$${\displaystyle L^{\infty}}$${\displaystyle \lambda >n}$

これは の標準であることに注意してください。 ${\displaystyle p\geq 1}$

カンパナート空間の半ノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle {\bigl (}[u]_{\lambda ,p}{\bigr )}^{p}=\sup _{0<r<\operatorname {diam} (\Omega ),x_{0}\in \Omega }{\frac {1}{r^{\lambda }}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }|u(y)-u_{r,x_{0}}|^{p}dy}$

どこ

${\displaystyle u_{r,x_{0}}={\frac {1}{|B_{r}(x_{0})\cap \Omega |}}\int _{B_{r}(x_{0})\cap \Omega }u(y)dy.}$

が十分に正則な領域である場合、つまり任意のおよびに対してとなる定数Aが存在する場合、のモーリー空間はの同じ値を持つカンパナート空間と同値であることが知られています。 ${\displaystyle 0\leq \lambda <n}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle |\Omega \cap B_{r}(x_{0})|>Ar^{n}}$${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$${\displaystyle r<\operatorname {diam} (\Omega )}$

のとき、カンパナート空間は有界平均振動の関数の空間です。 のとき、カンパナート空間はのヘルダー連続関数の空間です。 のとき、空間には定数関数のみが含まれます。 ${\displaystyle n=\lambda }$${\displaystyle n<\lambda \leq n+p}$${\displaystyle C^{\alpha }(\Omega )}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\lambda -n}{p}}}$${\displaystyle \lambda >n+p}$

• Campanato、Sergio (1963)、「Proprietà di hölderianità di alcune classi di funzioni」、Ann。スクオーラノルム。すする。ピサ (3)、17 : 175–188
• マリアーノ・ジャキンタ（1983）「変分法と非線形楕円システムにおける多重積分」数学研究年報第105巻、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-08330-8